複素解析・リーマン面の問題

二つの境界円 $C_1:|z|=1$ と $C_2:\left|z-\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{5}$ の両方に関して対称な 2 点を探し、それらを $0$ と $\infty$ に送る一次分数変換を作る。

対称な 2 点. 実軸上の 2 点 $p,q$ が $C_1$ に関して対称である条件は $pq=1$、$C_2$ に関して対称である条件は $\left(p-\frac{2}{5}\right)\left(q-\frac{2}{5}\right)={\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{4}{25}$ である。$q=\frac{1}{p}$ を代入すると
$$\left(p-\frac{2}{5}\right)\left(\frac{1}{p}-\frac{2}{5}\right)=1-\frac{2}{5}\left(p+\frac{1}{p}\right)+\frac{4}{25}=\frac{4}{25}$$
より $p+\frac{1}{p}=\frac{5}{2}$、すなわち $p=\frac{1}{2},q=2$ である。

一次分数変換.
$$w=T(z)=\frac{2z-1}{z-2}$$
とおく。$T\left(\frac{1}{2}\right)=0,T(2)=\infty$ である。

• $|z|=1$ のとき $\bar{z}=\frac{1}{z}$ なので $|2z-1|=|z|\left|2-\frac{1}{z}\right|=|2-\bar{z}|=|z-2|$。よって $|T(z)|=1$ であり、$T(C_1)$ は単位円 $|w|=1$ である。
• 対称点を $0,\infty$ に送るので、$T(C_2)$ は原点中心の円である。$C_2$ 上の点 $z=0$ で $T(0)=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$、$z=\frac{4}{5}$ で $T\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{6}{5}}=-\frac{1}{2}$ だから、$T(C_2)$ は円 $|w|=\frac{1}{2}$ である。

領域の対応. $z=0$ は $C_2$ 上にあるので $D$ の内点として例えば $z=-\frac{1}{2}$ をとると $T\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{-2}{-\frac{5}{2}}=\frac{4}{5}$ で、$\frac{1}{2}<\frac{4}{5}<1$ である。$T$ は $D$ の閉包上で正則（極 $z=2$ は $\overline{D}$ の外）かつ単射で、境界円を境界円に写すから、
$$T(D)=\left\{w|\frac{1}{2}<|w|<1\right\}.$$
さらに $w\mapsto 2w$ により、これは $A_2=\{1<|w|<2\}$ に写る。よって $D$ は $A_2$ に双正則同値である。

一意性. 円環 $A_R$ と $A_{R^{\prime }}$ ($R,R^{\prime }>1$) が双正則同値であるのは $R=R^{\prime }$ のときに限る（円環の等角不変量 $\frac{1}{2\pi }\log R$ が一致する必要がある）。したがって求める値は
$$R=2.$$

円環領域の等角同値類は、境界の 2 円を同心円にうつす 1 次分数変換のモジュラス比で決まる。外円 $C_1:|z|=1$、内円 $C_2:|z-\frac{2}{5}|=\frac{2}{5}$（$C_2$ は 0 と $\frac{4}{5}$ を通り、$|z|\le \frac{4}{5}<1$ なので $C_1$ と交わらず $C_2$ の内部は単位円板に含まれる）。

両方の円に関して対称な点の対 $a,b$（実数）を求める。$C_1$ に関する対称: $ab=1$。$C_2$ に関する対称: $(a-\frac{2}{5})(b-\frac{2}{5})={\left(\frac{2}{5}\right)}^2$。展開すると $ab-\frac{2}{5}(a+b)+\frac{4}{25}=\frac{4}{25}$ より $a+b=\frac{5}{2}ab=\frac{5}{2}$。よって $a,b$ は $t^2-\frac{5}{2}t+1=0$ の解で $a=\frac{1}{2},b=2$。

$w=\frac{z-\frac{1}{2}}{z-2}$ とおくと、
- $|z|=1$ 上: $z=1$ で $|w|=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$、$z=-1$ で $|w|=\frac{3/2}{3}=\frac{1}{2}$。よって $C_1$ は円 $|w|=\frac{1}{2}$ にうつる。
- $C_2$ 上: $z=0$ で $|w|=\frac{1/2}{2}=\frac{1}{4}$、$z=\frac{4}{5}$ で $|w|=\frac{3/10}{6/5}=\frac{1}{4}$。よって $C_2$ は円 $|w|=\frac{1}{4}$ にうつる。

$z=\frac{1}{2}\in D$ は $w=0$ にうつるが、これは $C_2$ の内部（除かれた閉円板内）の点である。したがって $D$ は $\frac{1}{4}<|w|<\frac{1}{2}$ にうつる（$z=2$ が極なので外側の点 $z=\infty$ に対応する $w=1$ は $|z|>1$ 側、$D$ には含まれない）。この円環のモジュラス比は $\frac{1/2}{1/4}=2$ なので、$A_R$ との双正則同値は $R=2$（円環の同値条件は外半径と内半径の比が等しいこと）。

検算: $z=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}{e}^{i\theta }$ 上の点 $z=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}i$ で $|z-\frac{1}{2}{|}^2=\frac{1}{100}+\frac{4}{25}=\frac{17}{100}$、$|z-2{|}^2=\frac{64}{25}+\frac{4}{25}=\frac{68}{25}$、比 $=\frac{17}{100}\cdot \frac{25}{68}=\frac{1}{16}$、$|w|=\frac{1}{4}$ で一致する。