複素解析・リーマン面の問題

2 つの円 $C_0:|z|=1$ と $C_1:\left|z-\frac{7}{16}\right|=\frac{5}{16}$ の両方に関して対称な点の組 $p,q$ を求め、$w=\frac{z-p}{z-q}$ の形の写像を使う。

対称点の組. 2 つの円の中心はともに実軸上にあるので、$p,q$ も実数にとれる。
- $C_0$ に関して対称: $pq=1$。
- $C_1$ に関して対称: $\left(p-\frac{7}{16}\right)\left(q-\frac{7}{16}\right)={\left(\frac{5}{16}\right)}^2$。

2 つ目を展開すると $pq-\frac{7}{16}(p+q)+\frac{49}{256}=\frac{25}{256}$。$pq=1$ を代入して
$$\frac{7}{16}(p+q)=1+\frac{24}{256}=\frac{35}{32},p+q=\frac{5}{2}.$$
よって $p,q$ は $t^2-\frac{5}{2}t+1=0$、すなわち $(2t-1)(t-2)=0$ の 2 解で、$p=\frac{1}{2},q=2$ とおく。

写像. $\frac{z-p}{z-q}$ は対称点の組を $0,\infty$ に写すので、$C_0,C_1$ はそれぞれ $0$ を中心とする円に写る。半径を求める。
- $C_0$ 上の点 $z=1$: $\left|\frac{1-\frac{1}{2}}{1-2}\right|=\frac{1}{2}$。
- $C_1$ 上の点 $z=\frac{7}{16}+\frac{5}{16}=\frac{3}{4}$: $\left|\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}-2}\right|=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{1}{5}$。

$D$ の点（たとえば $z=-\frac{1}{2}$）では $\left|\frac{-1}{-\frac{5}{2}}\right|=\frac{2}{5}$ で、$\frac{1}{5}<\frac{2}{5}<\frac{1}{2}$ だから、$D$ は円環 $\frac{1}{5}<|\zeta |<\frac{1}{2}$ に写る。

正規化. 内側の半径を $1$ にするため逆数をとり $\frac{1}{2}$ 倍する: $$T(z)=\frac{1}{2}\cdot \frac{z-2}{z-\frac{1}{2}}=\frac{z-2}{2z-1}.$$ すると $C_0$ は $|w|=1$、$C_1$ は $|w|=\frac{1}{2}\cdot 5=\frac{5}{2}$ に写り、$D$ は $1<|w|<\frac{5}{2}$ に写る。

したがって $R=\frac{5}{2}$。（$R$ は外半径と内半径の比 $\frac{1/2}{1/5}$ として正規化によらず決まる。）

2 つの円 $C_1:|z|=1$ と $C_2:|z-c|=r$（$c=\frac{7}{16},r=\frac{5}{16}$）の両方に関して互いに鏡像になる点の組 $x,x^{\ast }$ を求める。$C_1$ に関する鏡像は $x^{\ast }=1/x$、$C_2$ に関する鏡像は $(x-c)(x^{\ast }-c)=r^2$（$x$ は実数にとる）。

代入して $(x-c)\left(\frac{1}{x}-c\right)=r^2$、整理して $c{x}^2-(1+c^2-r^2)x+c=0$。$c^2=\frac{49}{256}$、$r^2=\frac{25}{256}$ より $1+c^2-r^2=\frac{280}{256}=\frac{35}{32}$。よって $\frac{7}{16}{x}^2-\frac{35}{32}x+\frac{7}{16}=0$、すなわち $2x^2-5x+2=0$ で $x=\frac{1}{2},2$。

$T(z)=\frac{z-\frac{1}{2}}{z-2}$ とおくと、$\frac{1}{2}$ と $2$ はそれぞれ $0$, $\infty$ に写り、両方の円は原点中心の円に写る。

• $C_1$: $T(1)=-\frac{1}{2}$ より $|w|=\frac{1}{2}$（$T(-1)=\frac{1}{2}$ とも整合）。
• $C_2$: 実軸との交点 $z=\frac{3}{4}$, $\frac{1}{8}$ で $T\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{-\frac{1}{4}\cdot (-1)}{}$ を計算すると、$T\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{1/4}{-5/4}=-\frac{1}{5}$、$T\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{-3/8}{-15/8}=\frac{1}{5}$ なので $|w|=\frac{1}{5}$。

$z=0\in D$ は $T(0)=\frac{1}{4}$ に写り、$\frac{1}{5}<\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$ なので $D$ は円環 $\frac{1}{5}<|w|<\frac{1}{2}$ に写る。さらに $5$ 倍して $1<|w|<\frac{5}{2}$ とできる。したがって $R=\frac{1/2}{1/5}=\frac{5}{2}$。

（同心円環の比 $R$ は共形不変量で、一次分数変換と相似で一意に決まる。）検算: 比 $\frac{1/2}{1/5}=\frac{5}{2}$。