複素数平面と絶対値・共役複素数

$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $2$ 点 $\mathrm{A}(-1+3i)$, $\mathrm{B}(2-i)$ がある。$2$ 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 間の距離 $\mathrm{AB}$ を求めよ。

$i$ を虚数単位とする。複素数平面上の 2 点 $\mathrm{A}(-1+3i)$, $\mathrm{B}(5-5i)$ の間の距離 $\mathrm{AB}$ を求めよ。

$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に 2 点 $\mathrm{A}(2+5i)$, $\mathrm{B}(-3-7i)$ がある。2 点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 間の距離 $\mathrm{AB}$ を求めよ。

複素数平面上に 2 点 $\mathrm{A}(2+i)$, $\mathrm{B}(4+3i)$ がある。点 $\mathrm{C}(z)$ を、$△\mathrm{ABC}$ が正三角形で、頂点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ がこの順に反時計回りに並ぶようにとる。複素数 $z$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

$n$ は $1\leqq n\leqq 30$ を満たす整数とする。$z$ についての方程式
$$z^n=i$$
の解の中に、実部と虚部が等しい複素数が存在するような $n$ をすべて求めよ。

複素数平面上で、点 $\mathrm{P}(\alpha )$ は原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円周上を動く。点 $\mathrm{A}(3)$ を中心として点 $\mathrm{P}$ を $\frac{\pi }{3}$ だけ回転した点を $\mathrm{Q}(\gamma )$ とする。点 $\mathrm{B}(-3)$ と点 $\mathrm{Q}$ の距離 $\mathrm{BQ}$ の最大値を求めよ。

複素数 $z$ についての方程式
$$z^4=-8+8\sqrt{3}i$$
を考える。この方程式の解のうち、実部が正であるものすべての積を求めよ。

複素数 $z$ についての方程式 $$z^6=-27$$ の $6$ 個の解を $z_1,z_2,\dots ,z_6$ とする。$1\le j<k\le 6$ を満たす $15$ 通りの整数の組 $(j,k)$ すべてについての和 $$\sum _{1\le j<k\le 6}|z_j-z_k{|}^2$$ を求めよ。

複素数 $\alpha$ を $$\alpha =(\sqrt{6}+\sqrt{2})+(\sqrt{6}-\sqrt{2})i$$ と定める。ただし、$i$ は虚数単位とする。${\alpha }^6$ の値を求めよ。

$n$ は $1\leqq n\leqq 30$ を満たす整数とする。複素数 $z$ についての $2$ つの方程式
$$z^n=-1,(z-1{)}^n=1$$
がともに成り立つような複素数 $z$ が存在する $n$ をすべて求めよ。

$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に原点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{A}(2)$ がある。点 $\mathrm{P}(z)$ は、虚部が $1$ である複素数 $z$ を表す点全体、すなわち直線 $\mathrm{Im}z=1$ 上を動く。点 $\mathrm{P}$ を点 $\mathrm{O}$ を中心として反時計回りに $\frac{\pi }{3}$ だけ回転した点を $\mathrm{Q}$、点 $\mathrm{P}$ を点 $\mathrm{A}$ を中心として時計回りに $\frac{\pi }{3}$ だけ回転した点を $\mathrm{R}$ とする。線分 $\mathrm{QR}$ の長さの最小値を求めよ。

集合 $U$ を、絶対値が $1$ で偏角が $\frac{\pi }{1013}$ の整数倍である複素数全体の集合とする。すなわち $$U=\left\{\cos \frac{k\pi }{1013}+i\sin \frac{k\pi }{1013}|k=0,1,2,\dots ,2025\right\}$$ である。ただし $i$ は虚数単位とする。$U$ の要素 $a,b,c$（同じものを選んでもよい）の組 $(a,b,c)$ で $$a+b+c=1$$ を満たすものの個数を求めよ。

複素数平面上で、点 $\mathrm{P}(z)$ は原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円周上を動く。点 $\mathrm{A}(3)$ を点 $\mathrm{P}$ を中心として反時計回りに $\frac{\pi }{3}$ だけ回転した点を $\mathrm{Q}(w)$ とする。3 点 $\mathrm{O},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が三角形をつくるとき、三角形 $\mathrm{OPQ}$ の面積の最大値を求めよ。

実数 $\theta$ は $0\leqq \theta <2\pi$ を満たすとし、$z=\cos \theta +i\sin \theta$ とおく。ただし $i$ は虚数単位である。
$$w=z^2+z^3+z^4+z^5+z^6$$
が正の実数となるような $\theta$ をすべて求めよ。

複素数 $z$ が
$$z+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$$
を満たすとき、
$$S=\sum _{k=1}^{30}\left(z^k+\frac{1}{z^k}\right)$$
の値を求めよ。

複素数 $z$ についての方程式 $$(z-1{)}^6=64z^6$$ は異なる $6$ 個の解をもち、複素数平面上でそれらを表す $6$ 個の点はすべて $1$ つの円周上にある。この円の半径を求めよ。

複素数 $z$ についての方程式 $$z^7=1$$ の解のうち、$1$ 以外のものを $z_1,z_2,\dots ,z_6$ とする。このとき、 $$\sum _{k=1}^6\frac{1}{|1-z_k{|}^2}$$ の値を求めよ。

$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ とする。$f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ は正則で $f(0)=0$ をみたすとし、$a=|f^{\prime }(0)|$ とおく。このとき、すべての $z\in \mathbb{D}$ に対して
$$|f(z)|\le |z|\frac{|z|+a}{1+a|z|}$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- シュワルツの補題: 正則関数 $h:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ が $h(0)=0$ をみたせば、すべての $z\in \mathbb{D}$ で $|h(z)|\le |z|$ である。
- 最大値原理: 連結な開集合上の正則関数の絶対値が内点で最大値をとれば、その関数は定数である。
- $|c|<1$ のとき、${\phi }_c(w)=\frac{w-c}{1-\overline{c}w}$ は $\mathbb{D}$ から $\mathbb{D}$ への正則な全単射で、逆写像は ${\phi }_{-c}(w)=\frac{w+c}{1+\overline{c}w}$ である。

シュワルツ＝ピックの補題（$f(0)=0$ を仮定しない形）は、用いる場合には証明すること。

次の和 $S$ の値を求めよ。
$$S=\sum _{k=0}^4{\cos }^{10}\frac{2k\pi }{5}={\cos }^{10}0+{\cos }^{10}\frac{2\pi }{5}+{\cos }^{10}\frac{4\pi }{5}+{\cos }^{10}\frac{6\pi }{5}+{\cos }^{10}\frac{8\pi }{5}$$

$n$ を正の整数とする。複素数 $z$ についての方程式 $$z^n=-1$$ の $n$ 個の解を $z_1,z_2,\dots ,z_n$ とするとき、 $$S=\sum _{k=1}^n\frac{1}{|1-z_k{|}^4}$$ を $n$ の式で表せ。