z 変換と差分方程式の伝達関数

差分方程式 $y [n] = \sum a_{k} y [n - k] + \sum b_{k} x [n - k]$ を z 変換して伝達関数 $H (z)$ を求め、極・零点と、因果的な系の安定性（極が単位円の内側）を判定できる

前提

無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
複素数平面と絶対値・共役複素数（数学C 複素数平面）

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算数中学高校大学大学院

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複素数平面と絶対値・共役複素数（数学C 複素数平面）

説明

デジタルフィルタのように、出力 $y [n]$ を過去の出力と現在・過去の入力 $x [n]$ から $y [n] = \sum a_{k} y [n - k] + \sum b_{k} x [n - k]$ と計算していく系（差分方程式で表される系）を、z 変換を使って 1 つの分数式 $H (z)$ （伝達関数）にまとめられるようになります。 $H (z)$ の分母を 0 にする $z$ （極）と分子を 0 にする $z$ （零点）を求めれば、系の性質がわかります。特に、因果的な系（出力が未来の入力に依存しない系）が安定かどうかは、極がすべて複素数平面の単位円の内側 $∣ z ∣ < 1$ にあるかどうかで判定できます。

なぜそうしてよいのか

$n < 0$ で 0 の数列 $x [n]$ に対し、 $z$ を複素数として
$X (z) = n = 0 \sum \infty x [n] z^{- n} = x [0] + x [1] z^{- 1} + x [2] z^{- 2} + \dots$
を $x [n]$ の z 変換といいます（ $z^{- n}$ の係数に $x [n]$ を並べた「数列の名札」）。数列を 1 つ遅らせた $x [n - 1]$ （ $n = 0$ では $x [- 1] = 0$ ）の z 変換は $0 + x [0] z^{- 1} + x [1] z^{- 2} + \dots = z^{- 1} X (z)$ です。同様に $k$ 遅らせると $z^{- k} X (z)$ になります。つまり「 $k$ ステップ遅らせる」ことが「 $z^{- k}$ を掛ける」ことに変わります。

入力が入る前は出力も 0（初期値 0）として、差分方程式 $y [n] = \sum_{k = 1}^{p} a_{k} y [n - k] + \sum_{k = 0}^{q} b_{k} x [n - k]$ の両辺を z 変換すると、 $Y (z) = \sum a_{k} z^{- k} Y (z) + \sum b_{k} z^{- k} X (z)$ です。 $Y (z)$ を左辺に集めて
$H (z) = \frac{Y ( z )}{X ( z )} = \frac{\sum _{k = 0}^{q} b _{k} z ^{- k}}{1 - \sum _{k = 1}^{p} a _{k} z ^{- k}}$
が得られます。分子・分母に $z$ の適当なべきを掛けて $z$ の多項式の比にし、分子 $= 0$ の解を零点、分母 $= 0$ の解を極と呼びます（分子と分母に共通の因数があれば約分してから）。

系が安定であるとは、「大きさが有界な入力（ある定数 $M$ について常に $∣ x [n] ∣ \leq M$ ）に対して、出力も有界である」ことをいいます。これと極の関係を、最も簡単な $y [n] = p y [n - 1] + x [n]$ （ $H (z) = \frac{1}{1 - p z ^{- 1}}$ 、極 $z = p$ ）で見ます。漸化式を繰り返し使うと $y [n] = \sum_{k = 0}^{n} p^{k} x [n - k]$ です（インパルス $x [0] = 1$ 、ほかは 0 への応答は $1, p, p^{2}, \dots$ で、実際 $\sum_{n \geq 0} p^{n} z^{- n} = \frac{1}{1 - p z ^{- 1}}$ ）。 $∣ p ∣ < 1$ なら $∣ y [n] ∣ \leq M \sum_{k = 0}^{n} ∣ p ∣^{k} \leq \frac{M}{1 - ∣ p ∣}$ と無限等比級数の和で抑えられ、出力は有界です。 $∣ p ∣ \geq 1$ なら、大きさ 1 の入力 $x [n] = p^{n} /∣ p ∣^{n}$ に対して $∣ y [n] ∣ = \sum_{k = 0}^{n} ∣ p ∣^{k} \geq n + 1$ となり、出力はいくらでも大きくなります。

極が複数あっても、極がすべて異なれば $H (z)$ は $\frac{c}{1 - p z ^{- 1}}$ の形の和に分けられます。ただし分子の次数が分母の次数以上のとき（ $z^{- 1}$ の式として見て、分子の $z^{- 1}$ の最高次数 $q$ が分母の最高次数 $p$ 以上のとき）は、これに $z^{- k}$ の定数倍の項が有限個加わります。この項は「入力を $k$ ステップ遅らせて定数倍する」だけで、有界な入力からは有界な出力しか生まないので、安定性には影響しません。したがってインパルスへの応答は $p^{n}$ の形の項の和（と有限個の項）になり、上の 1 次の場合の議論がそのまま各項に使えます（極が重なる場合は $n p^{n}$ のような項も現れますが、 $∣ p ∣ < 1$ なら和が収束することは同じです）。こうして、因果的な系はすべての極が $∣ z ∣ < 1$ の内側にあるとき安定で、1 つでも $∣ z ∣ \geq 1$ の極があれば安定ではありません。零点の位置は安定性に関係しません。

手順

差分方程式の各項を z 変換する。 $y [n - k] \to z^{- k} Y (z)$ 、 $x [n - k] \to z^{- k} X (z)$ （初期値は 0 とする）
$Y (z)$ の項を左辺に集めて $H (z) = \frac{Y ( z )}{X ( z )} = \frac{\sum b _{k} z ^{- k}}{1 - \sum a _{k} z ^{- k}}$ を求める
分子・分母に $z$ の最高次のべき（ $z^{m a x (p, q)}$ ）を掛けて $z$ の多項式の比に直し、共通因数があれば約分する
分子 $= 0$ の解を零点、分母 $= 0$ の解を極として求める（2 次方程式なら解の公式。虚数解もありうる）
各極の絶対値 $∣ z ∣$ を求め、すべて $∣ z ∣ < 1$ なら安定、1 つでも $∣ z ∣ \geq 1$ なら安定でないと判定する

例題

因果的な系が差分方程式 $y [n] = y [n - 1] - \frac{1}{2} y [n - 2] + x [n] + x [n - 1]$ で表されている（初期値は 0 とする）。この系の伝達関数 $H (z)$ の極をすべて求めよ。ただし $i$ は虚数単位とする。

例題の解答

【手順 1】両辺を z 変換すると
$Y (z) = z^{- 1} Y (z) - \frac{1}{2} z^{- 2} Y (z) + X (z) + z^{- 1} X (z)$

【手順 2】 $Y (z)$ を左辺に集めて
$H (z) = \frac{Y ( z )}{X ( z )} = \frac{1 + z ^{- 1}}{1 - z ^{- 1} + \frac{1}{2} z ^{- 2}}$

【手順 3】分子・分母に $z^{2}$ を掛けて
$H (z) = \frac{z ^{2} + z}{z ^{2} - z + \frac{1}{2}} = \frac{z ( z + 1 )}{z ^{2} - z + \frac{1}{2}}$
分母に $z = 0, - 1$ を代入すると $\frac{1}{2}, \frac{5}{2}$ で 0 にならないので、共通因数はなく約分できない。

【手順 4】零点は $z = 0, - 1$ 。極は $z^{2} - z + \frac{1}{2} = 0$ の解で
$z = \frac{1 \pm 1 - 2}{2} = \frac{1 \pm i}{2}$

【手順 5】（安定性の確認） $\frac{1 \pm i}{2} = \frac{1 ^{2} + 1 ^{2}}{2} = \frac{2}{2} < 1$ なので、2 つの極はともに単位円の内側にあり、この系は安定である。

答え: ${\frac{1 + i}{2}, \frac{1 - i}{2}}$

よくある誤り

移項するときに $a_{k}$ の符号を変え忘れ、分母を $1 + \sum a_{k} z^{- k}$ としてしまう誤り。例題で分母を $1 + z^{- 1} - \frac{1}{2} z^{- 2}$ とすると極が $z^{2} + z - \frac{1}{2} = 0$ の解になって誤り。正しくは $y [n] = \sum a_{k} y [n - k] + \dots$ の形なら分母は $1 - \sum a_{k} z^{- k}$ で、例題では $1 - z^{- 1} + \frac{1}{2} z^{- 2}$
$z^{- 1}$ の多項式のまま「分母 $= 0$ 」を解き、 $1 - z^{- 1} + \frac{1}{2} z^{- 2} = 0$ を $w = z^{- 1}$ の方程式として $w = 1 \pm i$ を極としてしまう誤り。これは極の逆数で、正しくは $z = \frac{1}{w} = \frac{1 \pm i}{2}$ （ $z$ の多項式に直してから解く）
安定性の判定に極の実部だけを見たり、零点の位置で判定したりしてしまう誤り。例えば極が $z = \pm 0.9 i$ なら実部は 0 でも、正しくは絶対値 $∣ \pm 0.9 i ∣ = 0.9 < 1$ で判定する。零点 $z = - 1$ が単位円上にあっても安定性には影響しない
極が単位円上にある場合（ $∣ z ∣ = 1$ ）を安定としてしまう誤り。 $y [n] = y [n - 1] + x [n]$ （極 $z = 1$ ）では、大きさ 1 の入力 $x [n] = 1$ を入れ続けると $y [n] = n + 1$ となり出力が限りなく大きくなる。正しくは $∣ z ∣ < 1$ （等号なし）が安定の条件

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
入力 $x [n]$ 、出力 $y [n]$ （ $n$ は整数）の離散時間系が、差分方程式
$y [n] = \frac{5}{6} y [n - 1] - \frac{1}{6} y [n - 2] + x [n]$
で表される。初期状態は $0$ とする。この系の伝達関数 $H (z) = \frac{Y ( z )}{X ( z )}$ の極をすべて求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ディジタルフィルタの周波数特性（大学物理信号処理・通信工学）