信号処理・通信工学

電力 $0.10\text{mW}$ の信号を、利得 $30\text{dB}$ の増幅器に通したあと、損失 $10\text{dB}$ のケーブルで受信機まで送る。受信機の入力端での雑音電力は $1.0\mu \text{W}$ である。受信機の入力端での信号対雑音比（SNR）[dB] を整数で求めよ。ただし、利得・損失は電力比のデシベル値 $10{\log }_{10}(P_{\text{出力}}/P_{\text{入力}})$ で表したものとする。

連続時間の線形時不変系のインパルス応答が
$$h(t)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2t}& (t\ge 0)\\ 0& (t<0)\end{array}$$
で与えられている。この系に、矩形パルス
$$x(t)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le t\le 1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
を入力した。時刻 $t$ は実数（無次元）とする。時刻 $t=2$ における出力 $y(2)$ を求めよ。

周波数 $7\text{kHz}$ の正弦波 $x(t)=\cos (2\pi \times 7000t)$（$t$ は時刻 [s]）を、標本化周波数 $f_s=10\text{kHz}$ で標本化した。得られた標本値の列を、遮断周波数 $f_s/2=5\text{kHz}$ の理想低域通過フィルタに通して連続信号に再構成する。再構成された信号は 1 つの正弦波になる。その周波数 [kHz] を求めよ。

長さ $N=4$ の離散信号
$$x[0]=1,x[1]=2,x[2]=0,x[3]=1$$
の離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{3}x[n]e^{-j2\pi kn/4}(k=0,1,2,3)$$
で定める。ここで $j$ は虚数単位である。$X[1]$ の値を求めよ。

入力 $x[n]$、出力 $y[n]$（$n$ は整数）の離散時間系が、差分方程式
$$y[n]=\frac{5}{6}y[n-1]-\frac{1}{6}y[n-2]+x[n]$$
で表される。初期状態は $0$ とする。この系の伝達関数 $H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$ の極をすべて求めよ。

AM 送信機の出力電圧が
$$v(t)=A\left[1+m\cos (2\pi f_{m}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
で表され、$A=100\text{V}$、変調度 $m=0.6$、信号周波数 $f_m=5\text{kHz}$、搬送波周波数 $f_c=1\text{MHz}$ である。この電圧を $R=50\Omega$ の抵抗負荷に加えたとき、負荷で消費される平均電力 [W] を求めよ。ただし時刻 $t$ の単位は s で、平均は十分に長い時間についてとる。

受信機の初段に低雑音増幅器（LNA）を置き、その後ろにミキサを縦続接続した。LNA の雑音指数は真数で $F_1=2.0$、電力利得は $20\text{dB}$ であり、ミキサの雑音指数は真数で $F_2=11$ である。各段の入出力は整合しており、雑音指数は標準雑音温度を基準とした値とする。この 2 段縦続接続の総合雑音指数 $F$ を真数（分数または小数）で求めよ。

入力 $x(t)$、出力 $y(t)$ の線形時不変系が、微分方程式
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+3\frac{dy}{dt}+2y=2\frac{dx}{dt}$$
で表される（$t$ は時刻で無次元とする）。$t<0$ では $x(t)=0$、$y(t)=0$ で、系は静止している（初期値はすべて $0$）。時刻 $t=0$ に単位ステップ入力 $x(t)=1(t\ge 0)$ を加えた。$t>0$ における出力 $y(t)$ の最大値を求めよ。

周波数 $f_0=250\text{Hz}$、振幅 $2\text{V}$ の正弦波電圧 $x(t)=2\sin (2\pi f_{0}t)$ を、標本化周期 $T=1.0\text{ms}$（標本化周波数 $f_s=1/T=1000\text{Hz}$）で標本化する。各標本値 $x(nT)$ を次の標本時刻まで保持して（0 次ホールド）階段状の信号を作り、それを通過域の利得が $1$、遮断周波数が $f_s/2=500\text{Hz}$ の理想低域通過フィルタに通す。

0 次ホールドは、標本列をインパルス列 $x_s(t)={\sum }_{n}x(nT)\delta (t-nT)$ とみなし、それをインパルス応答 $h(t)=1(0\le t<T)$、$h(t)=0$（それ以外）の系に通すものと考える。この系の周波数特性の大きさは
$$|H(f)|=T\left|\frac{\sin (\pi fT)}{\pi fT}\right|$$
であり、インパルス列 $x_s(t)$ のスペクトルのうち $|f|<f_s/2$ の部分は、もとの信号 $x(t)$ のスペクトルの $\frac{1}{T}$ 倍である。

フィルタの出力は周波数 $250\text{Hz}$ の正弦波になる。その振幅は何 V か。根号と $\pi$ を用いた正確な値で答えよ。

入力 $x[n]$、出力 $y[n]$ の因果的なディジタルフィルタが、差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{2}y[n-1]+x[n]$$
で表される。このフィルタの伝達関数は $H(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{2}{z}^{-1}}$ である。ここで $j$ は虚数単位、$\omega$ は正規化角周波数（単位は rad/サンプル）とする。

正規化角周波数 $\omega =\frac{\pi }{2}$ における振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ の値を求めよ。根号を用いた正確な値で答えよ。

振幅 $A_m=3.0\text{V}$、周波数 $f_m=5.0\text{kHz}$ の正弦波の信号で搬送波を周波数変調（FM）する。変調器の周波数感度は $k_f=4.0\text{kHz/V}$ で、FM 波の瞬時周波数は搬送波周波数から $k_f$ と信号の瞬時値の積だけずれる。

カーソンの法則 $B=2(\Delta f+f_m)$（$\Delta f$ は最大周波数偏移）を用いて、この FM 波の帯域幅 $B$ は何 kHz か求めよ。整数で答えよ。

実数値の連続時間信号 $x(t)$ のフーリエ変換 $X(f)$（$f$ は周波数）は、$40\text{kHz}<|f|<50\text{kHz}$ の範囲でだけ $0$ でない値をとり、それ以外の $f$ では $X(f)=0$ である。この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化する。標本化した信号のスペクトルは $X(f)$ を $f_s$ の整数倍ずつずらした複製 $X(f-m{f}_s)$（$m$ は整数）の和になる。

$f_s$ を $30\text{kHz}\leqq f_s\leqq 45\text{kHz}$ の範囲で選ぶとき、複製どうしが重ならない（エイリアシングが起きない）ような $f_s$ は、ある閉区間をなす。その区間の最小値と最大値（単位 kHz）を、この順に組で答えよ。ただし、複製の端どうしが接する場合は重ならないとみなす。

長さ $N=4$ の離散時間信号
$$x[0]=1,x[1]=2,x[2]=0,x[3]=-1$$
を考える。この信号の離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}(k=0,1,2,3)$$
で定義する。ここで $j$ は虚数単位である。$X[1]$ の値を $a+bj$（$a,b$ は実数）の形で求めよ。

ある増幅器の入力での信号電力は $1.0\mu \text{W}$ で、この信号に雑音が加わっている。入力での信号対雑音比（SNR、信号電力と雑音電力の比）は $30\text{dB}$ である。この増幅器の電力利得は $20\text{dB}$ で、入力の信号と雑音を同じ割合で増幅する。さらに増幅器は、それ自身の内部で発生した電力 $9.0\times 10^{-7}\text{W}$ の雑音を出力に加える。入力側の雑音と増幅器内部の雑音は無相関で、出力での雑音電力はそれらの電力の和で表されるものとする。

増幅器の出力での SNR は何 dB か。整数で求めよ。ただし、電力比 $P_1/P_2$ のデシベル値を $10{\log }_{10}(P_1/P_2)$ とする。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=x[n]-x[n-1]+x[n-2]$$
で表される離散時間の FIR フィルタを考える（$n$ は整数）。このフィルタの伝達関数 $H(z)$ を $z$ 変換で求め、$z=e^{j\omega }$ を代入して周波数特性 $H(e^{j\omega })$ を得る。ここで $j$ は虚数単位、$\omega$ は正規化角周波数（単位 rad/sample）である。

$0\le \omega \le \pi$ の範囲で振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ が $0$ となる $\omega$ を求めよ。

インパルス応答が
$$h(t)=e^{-2t}u(t)$$
で与えられる連続時間の線形時不変系がある。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）である。この系に、幅 $1\text{s}$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力したとき（$t<0$ では系は静止しているとする）、時刻 $t=2$ における出力 $y(2)$ を正確な値で求めよ。

連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (1000\pi t)}{\pi t}\right)}^2\cos (3000\pi t)$$
を考える（$t$ は時刻で単位は s、$t=0$ での値は極限値で定める）。この信号を標本化周波数 $f_s$ で等間隔に標本化し、理想低域通過フィルタで元の信号を復元する（帯域通過標本化のように、低域通過フィルタ以外の復元方法は考えない）。

この方式では、$x(t)$ のスペクトルの最高周波数を $f_{\max }$（$|f|>f_{\max }$ で $X(f)=0$ となる最小の値）とすると、$f_s>2f_{\max }$ のときにエイリアシングを起こさずに $x(t)$ を完全に復元できる。この $2f_{\max }$ をナイキストレート $f_N$ とよぶ。$f_N$ は何 Hz か。整数で求めよ。

ただし、フーリエ変換を $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ で定め、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|\le W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ の矩形関数であることを用いてよい。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]$$
で表される（$n$ は整数）。このフィルタに、周波数 $f=1000\text{Hz}$ の連続時間正弦波を標本化した信号
$$x[n]=\cos \left(\frac{2\pi f}{f_s}n\right)(-\infty <n<\infty )$$
を入力したとき、出力 $y[n]$ も同じ周波数の正弦波になる。このフィルタの伝達関数 $H(z)$ を $z$ 変換で求め、周波数特性 $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数）を用いて、出力 $y[n]$ の振幅を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する因果的な離散時間の 1 次 IIR フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=ay[n-1]+(1-a)x[n]$$
で表される（$n$ は整数、$a$ は $0<a<1$ を満たす実数の定数、初期状態は $0$ とする）。このフィルタの直流（周波数 $0\text{Hz}$）での振幅特性は $1$ である。周波数 $2000\text{Hz}$ の正弦波入力に対する振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ がちょうど $\frac{1}{2}$ になるような $a$ の値を求めよ。ここで $\omega =2\pi f/f_s$ は正規化角周波数（単位は rad）、$H(z)$ はこのフィルタの伝達関数である。

$t$ を時刻（単位は s）とし、連続時間信号
$$x(t)={\left(\frac{\sin (2\pi \cdot 400t)}{\pi t}\right)}^2\cos (2\pi \cdot 1500t)$$
を考える（$t=0$ では連続になるように値を定める）。フーリエ変換は $X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt$（$f$ は周波数で単位は Hz）で定義し、$\frac{\sin (2\pi Wt)}{\pi t}$（$W>0$）のフーリエ変換は $|f|<W$ で $1$、$|f|>W$ で $0$ となる矩形関数であることを用いてよい。

この信号を一定の標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、理想低域通過フィルタで復元する（帯域通過標本化は考えない）。$X(f)\ne 0$ となる周波数 $|f|$ の上限を $B$ とするとき、ナイキストレート $2B$ は何 Hz か。整数で答えよ。

ある AM 送信機は、正弦波 1 つで変調した通常の振幅変調（DSB-LC）波
$$s(t)=A\left[1+m\cos (2\pi f_{m}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
を、抵抗値が一定の純抵抗の負荷（アンテナを抵抗とみなしたもの）に送り出す。ここで $t$ は時刻、$A>0$ は搬送波の振幅、$f_c$ は搬送波周波数、$f_m$ は変調信号の周波数で $0<f_m\ll f_c$、$m$ は変調指数で $0<m\le 1$ とする。

変調をかけない（$m=0$ の）とき、負荷に供給される平均電力は $400\text{W}$ であった。搬送波の振幅 $A$ を変えずに変調をかけたところ、負荷に供給される平均電力は $472\text{W}$ になった。変調指数 $m$ を既約分数で求めよ。

長さ $4$ の離散時間信号
$$x[0]=1,x[1]=2,x[2]=0,x[3]=-1$$
の $4$ 点離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{3}x[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{4}}(k=0,1,2,3)$$
で定義する（$j$ は虚数単位）。$X[1]$ を $a+bj$（$a,b$ は実数）の形で求めよ。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=ay[n-1]+x[n]$$
で表される因果的な 1 次の IIR 低域通過フィルタを考える。ここで $n$ は整数、$a$ は $0<a<1$ を満たす実数の定数で、初期状態は $0$ とする。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数）とする。正規化角周波数 $\omega =\pi$ における振幅特性 $|H(e^{j\pi })|$ が、直流（$\omega =0$）における振幅特性 $|H(e^{j0})|$ の $\frac{1}{19}$ 倍になるような $a$ の値を求めよ。

標本化周波数 $f_s=8000\text{Hz}$ で動作する離散時間の FIR フィルタがあります。入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は、差分方程式
$$y[n]=c\left(x[n]+bx[n-1]+x[n-2]\right)$$
で表されます（$n$ は整数）。ここで $b$, $c$ は実数の定数で、$c>0$ とします。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$ とし、周波数特性を $H(e^{j\omega })$ で表します。$j$ は虚数単位、$\omega =\frac{2\pi f}{f_s}$ は正規化角周波数、$f$ は周波数（単位は Hz）です。定数 $b$, $c$ は、次の 2 つの条件を満たすように決めます。

• 周波数 $1000\text{Hz}$ の正弦波成分を完全に除去する。すなわち、この周波数で $|H(e^{j\omega })|=0$ となる。
• 直流（$f=0$）での利得が $1$ である。すなわち $H(e^{j0})=1$ となる。

このとき、周波数 $4000\text{Hz}$ での振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ の値を、根号を用いた正確な値で求めてください。

因果的な連続時間の線形時不変系がある。初期状態は $0$ とする。$t$ は時刻を表す実数で、信号はすべて無次元量とする。

この系に単位ステップ関数
$$u(t)=\{\begin{array}{ll}1& (t\ge 0)\\ 0& (t<0)\end{array}$$
を入力すると、出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left(1-e^{-t}\cos t\right)u(t)$$
となった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-2t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
の値を求めよ。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{4}\left(x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]\right)$$
で表される離散時間 FIR フィルタ（4 点移動平均フィルタ）がある（$n$ は整数）。このフィルタに、すべての整数 $n$ について定義された入力
$$x[n]=3+2\cos \left(\frac{\pi n}{3}\right)$$
を加える。伝達関数 $H(z)$ と周波数特性 $H(e^{j\omega })$ を用いて出力 $y[n]$ を求め、$n$ を整数全体で動かしたときの $y[n]$ の最大値を求めよ。答えは分数で表せ。

連続時間の因果的な線形時不変系がある（$t$ は時刻を表す実数で、初期状態は $0$ とする）。この系に単位ステップ入力 $u(t)$（$t<0$ で $0$、$t\ge 0$ で $1$）を加えたときの出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left[1-(1+2t)e^{-2t}\right]u(t)$$
であった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$W={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{2}y[n-1]+x[n]+x[n-1]$$
で表される因果的な離散時間 IIR フィルタを考える（$n$ は整数、初期状態は 0 とする）。正規化角周波数を $\omega$（$0\le \omega \le \pi$、単位は rad）とし、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$j$ は虚数単位）とする。振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ がちょうど $1$ になる $\omega$ を、逆三角関数を用いた正確な値で求めよ。

連続時間信号
$$x(t)=\cos (2\pi \cdot 1700t)+\cos (2\pi \cdot 2600t)+\cos (2\pi \cdot 3200t)$$
（$t$ は時刻で単位は s）を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s=2000\text{Hz}$ で理想的に標本化した（標本値 $x(nT)$、$T=1/f_s$、$n$ は整数）。この標本列から、遮断周波数 $f_s/2=1000\text{Hz}$ の理想低域通過フィルタによる理想的な補間で連続時間信号 $\hat{x}(t)$ を再構成する。$\hat{x}(t)$ に含まれる正弦波成分の周波数（Hz 単位、正の値）をすべて求め、集合で答えよ。

搬送波周波数 $f_c=1\text{MHz}$ の振幅変調（DSB-LC、通常の AM）波
$$s(t)=A\left[1+m_1\cos (2\pi f_{1}t)+m_2\cos (2\pi f_{2}t)\right]\cos (2\pi f_{c}t)$$
を考える。ここで $A=100\text{V}$、$m_1=0.3$、$m_2=0.4$、$f_1=1\text{kHz}$、$f_2=3\text{kHz}$ であり、$t$ は時刻（単位は s）である。この電圧 $s(t)$ を $R=50\Omega$ の抵抗に加えたとき、抵抗で消費される平均電力（単位は W）を分数または小数の正確な値で求めよ。平均は十分長い時間についてとるものとする。

搬送波の振幅 $A=20\text{V}$、搬送波周波数 $f_c=10\text{MHz}$、周波数感度 $k_f=6\text{kHz/V}$ の周波数変調（FM）器に、変調信号
$$m(t)=0.5\cos (2\pi f_{m}t)\text{V},f_m=1.5\text{kHz}$$
を入力する。FM 波の瞬時周波数は $f_c+k_{f}m(t)$ であり、FM 波は
$$s(t)=A\cos \left(2\pi f_{c}t+\beta \sin (2\pi f_{m}t)\right)$$
と書ける（$\beta$ は変調指数）。この FM 波を $R=50\Omega$ の抵抗負荷に加える。

この FM 波を、カーソンの法則で見積もった帯域幅 $B$ をもち、通過帯域が $f_c-\frac{B}{2}\le f\le f_c+\frac{B}{2}$（両端を含む）である理想帯域通過フィルタに通す。フィルタを通過した成分が負荷で消費する平均電力は何 W か。有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、$s(t)=A{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(\beta )\cos \left(2\pi (f_c+n{f}_m)t\right)$（$J_n$ は第 1 種ベッセル関数、$J_{-n}(\beta )=(-1{)}^n{J}_n(\beta )$）を用いてよく、$\beta =2$ のときの値として
$$J_0(2)=0.2239,J_1(2)=0.5767,J_2(2)=0.3528,J_3(2)=0.1289$$
を用いよ。

アンテナで受けた信号を、次の 3 段をこの順に縦続接続した受信系で増幅する。各段の利得は電力利得、雑音指数は雑音係数（線形の比）で表す。

• 第 1 段（低雑音増幅器）: 利得 $20\text{dB}$、雑音係数 $F_1=2$
• 第 2 段（同軸ケーブル）: 損失 $10\text{dB}$（利得 $-10\text{dB}$）、雑音係数 $F_2=10$
• 第 3 段（主増幅器）: 雑音係数 $F_3=10$

第 3 段の利得は与えないが、最終段の利得は信号と雑音を同じ倍率で増幅するだけなので、出力端の SNR には影響しない。

受信系の入力端での信号対雑音比（SNR、電力比）は $30\text{dB}$ であり、入力端の雑音は標準温度 $T_0=290\text{K}$ の熱雑音である（各段の雑音係数はこの標準温度を基準に定義されている）。各段は整合しており、帯域幅はすべて等しいとする。

受信系の出力端での SNR は何 dB か。有効数字 3 桁で求めよ。

長さ $8$ の実数値の離散時間信号 $x[n]$（$n=0,1,\dots ,7$）の $8$ 点離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{7}x[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{8}}(k=0,1,\dots ,7)$$
と定義する（$j$ は虚数単位）。$X[k]$ のうち $k=0,1,2,3,4$ の値が
$$X[0]=8,X[1]=2-2j,X[2]=4j,X[3]=1+j,X[4]=-2$$
であることがわかっている。$x[n]$ とそれ自身との $8$ 点巡回畳み込み
$$y[n]=\sum _{m=0}^{7}x[m]x[(n-m)\mathrm{mod}8](n=0,1,\dots ,7)$$
について、$\sum _{n=0}^{7}y[n{]}^2$ の値を求めよ。

標本化周波数 $f_s=6000\text{Hz}$ で動作する因果的な離散時間フィルタがあり、入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は差分方程式
$$y[n]=-\frac{4}{9}y[n-2]+K(x[n]+x[n-2])$$
で表される（$n$ は整数、$K$ は正の実定数、初期状態は $0$ とする）。このフィルタの伝達関数を $H(z)$、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega =2\pi f/f_s$ は正規化角周波数、$f$ は入力の周波数）とする。

直流（$f=0$）での振幅特性 $|H(e^{j0})|$ が $1$ になるように $K$ を定めたとき、周波数 $f=750\text{Hz}$ での振幅特性 $|H(e^{j\omega })|$ の値を、根号を含む正確な値で求めよ。

周波数 $f_0$（単位は Hz）が未知の正弦波 $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$（$t$ は時刻で単位は s）がある。$f_0$ は $0<f_0<10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、得られた標本列を遮断周波数 $f_s/2$ の理想低域通過フィルタで連続時間信号に復元したところ、復元された信号は 1 つの周波数の正弦波になり、その周波数は次のとおりであった。

• $f_s=3000\text{Hz}$ のとき $700\text{Hz}$
• $f_s=4000\text{Hz}$ のとき $1300\text{Hz}$
• $f_s=5000\text{Hz}$ のとき $1700\text{Hz}$

$f_0$ の値を Hz 単位で求めよ。

送信機が、振幅 $1\text{V}$ の正弦波電圧を $50\Omega$ の整合した伝送線路（同軸ケーブル）に送り出す。送信電力は、この正弦波電圧が $50\Omega$ の抵抗で消費する平均電力に等しいとする。ケーブルの減衰量は $0.5\text{dB/km}$ で、長さ $L$（単位は km）に比例し、ケーブル以外での損失はないものとする。

受信端では、受信信号に平均電力 $-90\text{dBm}$ の雑音が加わる（$0\text{dBm}$ は $1\text{mW}$ とする）。受信機は、同じ信号が繰り返し $M=1000$ 回送られてくるのを利用して、受信波形を時刻をそろえて $M$ 回分平均（同期加算平均）する。各回の雑音は平均 $0$ で互いに無相関であり、信号は各回でまったく同じであるとする。

平均したあとの信号対雑音電力比（SNR）が $40\text{dB}$ 以上となるようなケーブルの長さ $L$ の最大値を求めよ（単位は km）。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{3}y[n-1]+\frac{2}{3}x[n]$$
で表される因果的な離散時間 IIR フィルタを考える（$n$ は整数、初期状態は $0$ とする）。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$ とし、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数、$j$ は虚数単位）とする。電力利得 $|H(e^{j\omega }){|}^2$ が直流（$\omega =0$）での値の $\frac{1}{2}$ になる正規化角周波数 $\omega$ を、$0<\omega <\pi$ の範囲で求めよ。

2 つの因果的な離散時間の線形時不変系 S${}_1$, S${}_2$ を、この順に縦続接続する（S${}_1$ の出力を S${}_2$ の入力とする）。$n$ は整数とする。

• S${}_1$ のインパルス応答は $h_1[n]={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n}u[n]$
• S${}_2$ の入力 $w[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は $y[n]=w[n]-w[n-2]$

ここで $u[n]$ は単位ステップ系列（$n\ge 0$ で $1$、$n<0$ で $0$）である。全体の系に入力 $x[n]=u[n]$ を加えたときの出力 $y[n]$ について、エネルギー
$$\sum _{n=0}^{\infty }y[n{]}^2$$
を求めよ。ただし、初期状態は $0$ とする。

入力範囲が $-V$ から $V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（$N$ は正の整数）でアナログ信号を量子化する。量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^N}$ であり、量子化誤差は区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ に一様に分布し、信号と無相関であるとする。

この量子化器に、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波 $x(t)=\frac{V}{2}\sin (2\pi f_{0}t)$ を入力する（入力範囲を超えることはない）。正弦波の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とするとき、SQNR が $90\text{dB}$ 以上になるような最小のビット数 $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$, ${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

インパルス応答が
$$h(t)=t{e}^{-t}u(t)$$
で与えられる連続時間の線形時不変系に、幅 $1$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力する。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、系は $t<0$ で静止している（出力は $0$）とする。

出力 $y(t)$ が最大値をとる時刻 $t$ を求めよ。

入力範囲が $-V\le v\le V$（$V>0$）の $N$ ビットの一様量子化器（量子化レベルの数 $2^N$、量子化幅 $\Delta =\frac{2V}{2^N}$）で、振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波信号を量子化する。$N$ は正の整数とする。

量子化誤差は $-\frac{\Delta }{2}$ から $\frac{\Delta }{2}$ の範囲に一様に分布し、信号と無相関であるとみなす（このとき量子化雑音の平均電力は $\frac{{\Delta }^2}{12}$ である）。信号の平均電力と量子化雑音の平均電力の比を信号対量子化雑音比（SQNR）とする。

SQNR が $70\text{dB}$ 以上になる最小の $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

周波数 $f_0$（単位は Hz）が未知の正弦波信号 $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$ がある（$t$ は時刻で単位は s）。$f_0$ は $0<f_0<10000$ を満たすことだけがわかっている。

この信号をアンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化し、その標本列を遮断周波数 $\frac{f_s}{2}$ の理想低域通過フィルタで復元する。次の 2 通りの実験を行った。

• 実験 1: $f_s=4000\text{Hz}$ で標本化・復元すると、周波数 $1300\text{Hz}$ の正弦波が得られた。
• 実験 2: $f_s=3000\text{Hz}$ で標本化・復元すると、周波数 $700\text{Hz}$ の正弦波が得られた。

両方の実験結果と矛盾しない $f_0$ の値（Hz）をすべて求めよ。

単一の正弦波で変調された FM 波
$$x(t)=A\cos (2\pi f_{c}t+\beta \sin (2\pi f_{m}t))$$
がある。ここで $A>0$ は定数、搬送波周波数は $f_c=5.0\text{MHz}$、変調信号の周波数は $f_m=3.0\text{kHz}$、変調指数は $\beta =0.50$ である。この FM 波を次の順に処理する。

1. 入出力の関係が $y(t)=kx(t{)}^2$（$k>0$ は定数）で表される 2 乗素子に通し、その出力から中心周波数 $10\text{MHz}$ 付近の成分だけを理想的な帯域通過フィルタで取り出す。
2. 周波数 $4.0\text{MHz}$ の一定周波数の局部発振器とミキサで混合し、周波数の和の成分だけを理想的なフィルタで取り出す。
3. 入力の瞬時位相を正確に $3$ 倍する理想的な周波数 3 逓倍器に通す。

ミキサと局部発振器は理想的とする。最終的に得られる FM 波の占有帯域幅 $B$ を、カーソンの法則 $B=2(\Delta f+f_m)$（$\Delta f$ はその FM 波の最大周波数偏移）で見積もるとき、$B$ は何 kHz か。整数で答えよ。

正弦波信号 $x(t)=A\sin (2\pi f_{0}t)$ を、$B$ ビットの一様量子化器をもつ A/D 変換器で標本化・量子化する。量子化器の入力範囲は $-V\le x\le V$（$V>0$）で、量子化レベル数は $2^B$、量子化ステップ幅は $\Delta =\frac{2V}{2^B}$ である。信号の振幅は $A=\frac{V}{2}$ であり、量子化器が飽和することはない。

標本化周波数は $f_s=2.56\text{MHz}$ である。量子化誤差は次の性質をもつとする。
- 区間 $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ 上の一様分布に従い、信号とは無相関である。
- その電力は周波数帯域 $-\frac{f_s}{2}\le f\le \frac{f_s}{2}$ に一様に分布している（白色）。

量子化後のディジタル信号を、通過帯域 $|f|\le f_B$（$f_B=20\text{kHz}$）の理想低域通過フィルタに通す。信号周波数 $f_0$ は $0<f_0<f_B$ を満たし、信号はこのフィルタで減衰しない。

フィルタ出力での信号対雑音比（信号電力と量子化雑音電力の比）を $\text{SNR}$ とし、そのデシベル値を $10{\log }_{10}\text{SNR}$ と定義する。フィルタ出力での SNR が $96\text{dB}$ 以上となるような最小の正の整数 $B$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いよ。

実数値の連続時間信号 $x(t)$（$t$ は時刻で単位は s）のフーリエ変換 $X(f)$ は、$18\text{kHz}<|f|<22\text{kHz}$ の範囲で $0$ でなく、それ以外の周波数では $0$ である（帯域通過信号）。

この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に標本化する（理想インパルス列による標本化）。標本化した信号の通過域が $18\text{kHz}\le |f|\le 22\text{kHz}$ の理想帯域通過フィルタに通すことで、$x(t)$ を完全に復元したい。復元できるのは、標本化によって現れるスペクトルの複製のうち、元のスペクトル以外のものが帯域 $18\text{kHz}<|f|<22\text{kHz}$ に幅をもって重ならないときである。複製が端点で接するだけの場合は、復元に影響しないものとする。

$f_s$ を kHz 単位で表した値が $10\le f_s\le 20$ を満たす整数であるとき、$x(t)$ を完全に復元できる $f_s$ をすべて求めよ。答えは kHz 単位の数値の集合で答えよ。

入力 $x(t)$ と出力 $y(t)$ の関係が微分方程式
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+4\frac{dy}{dt}+3y=x(t)$$
で表される因果的な連続時間の線形時不変系がある（$t$ は時刻で単位は s、$t<0$ で $x(t)=0,y(t)=0$ とする）。この系に、幅 $1\text{s}$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力する。ここで $u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）である。

出力 $y(t)$ が $t\ge 0$ で最大値をとる時刻 $t$（単位は s）を、正確な値で求めよ。

実数値の連続時間信号 $x(t)$ のフーリエ変換 $X(f)$（$f$ は周波数）は、$21\text{kHz}<|f|<25\text{kHz}$ の範囲でだけ $0$ でない値をとり、それ以外の $f$ では $X(f)=0$ である（帯域通過信号）。この信号を標本化周波数 $f_s$ で理想的に（インパルス列をかけて）標本化すると、標本化後の信号のスペクトルは
$$X_s(f)=f_s\sum _{m=-\infty }^{\infty }X(f-m{f}_s)$$
となる。ここで、$X(f)$ が $0$ でない区間を $m{f}_s$ ずらした複製どうし（$m$ は整数、正の周波数側の帯域と負の周波数側の帯域の両方を含む）が互いに重ならないとき「エイリアシングが起きない」という（区間の端点で接するだけのときは重ならないとみなす）。

$f_s$ を kHz 単位で表した値が $16$ 以下の正の整数であるとき、エイリアシングが起きない $f_s$ の値（kHz 単位の数値）をすべて求めよ。

受信機のフロントエンドが、次の 3 段をこの順に縦続接続して構成されている。

• 第 1 段: 低雑音増幅器。電力利得 $20\text{dB}$、雑音指数（真数、雑音係数）$F_1=2$
• 第 2 段: 受動素子だけでできたミキサ（周波数変換器）。変換損失（電力の損失）$10\text{dB}$。この段は標準温度 $T_0=290\text{K}$ にあり、整合のとれた受動の損失回路とみなせる
• 第 3 段: 中間周波増幅器。雑音指数（真数）$F_3=5.1$

各段の入出力はすべて整合しており、雑音指数はすべて標準温度 $T_0$ を基準に定義されたものとする。受信機の入力には、信号とともに温度 $T_0$ の整合した信号源抵抗の熱雑音だけが加わっており、入力での信号対雑音比（SNR、電力比）は $30\text{dB}$ である。第 3 段の出力での SNR は何 dB か。正確な値で答えよ。ただし、各段は線形で、信号と雑音は同じ帯域幅で扱えるものとする。

連続時間信号
$$x(t)=\cos (2\pi \cdot 7000t)+\sin (2\pi \cdot 13000t)$$
（$t$ は時刻で単位は s）を、アンチエイリアシングフィルタを通さずに標本化周波数 $f_s=10\text{kHz}$（標本化周期 $T=1/f_s$）で理想的に標本化し、標本列 $x[n]=x(nT)$（$n$ は整数）を得た。この標本列を次の 2 段で連続時間信号に戻す。

• 第 1 段（0 次ホールド）: $nT\le t<(n+1)T$ の区間で出力を $x[n]$ に保つ階段状の信号 $x_h(t)$ をつくる。
• 第 2 段: $x_h(t)$ を、通過域 $|f|<5\text{kHz}$ で利得 $1$（位相遅れなし）、それ以外の周波数で利得 $0$ の理想低域通過フィルタに通す。

最終的な出力 $y(t)$ は単一周波数の正弦波になる。その振幅を正確な値で求めよ。必要なら $\sin \frac{3\pi }{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ を用いてよい。

帯域 $0\sim 4\text{kHz}$ の音声信号を、オーバーサンプリングを用いた A/D 変換器でディジタル化する。条件は次のとおりである。

• A/D 変換器は $N$ ビット（$N$ は正の整数）の一様量子化器で、入力範囲は $-V\sim V$、量子化ステップは $\Delta =\frac{2V}{2^N}$ である。量子化誤差は信号と無相関で $\left[-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right]$ に一様に分布し、その電力 $\frac{{\Delta }^2}{12}$ は $0\sim \frac{f_s}{2}$ の周波数範囲に一様に（白色に）分布するとする。標本化周波数は $f_s=256\text{kHz}$ である。
• 入力信号は振幅 $\frac{V}{2}$ の正弦波（周波数は $4\text{kHz}$ 未満）で、過負荷は起こらない。
• A/D 変換器の入力には、信号と無相関なアナログの白色雑音も含まれている。この雑音の電力は $0\sim 128\text{kHz}$ に一様に分布しており、この全帯域で測った信号対雑音比（量子化雑音を含まない）は $70\text{dB}$ である。
• A/D 変換後、遮断周波数 $4\text{kHz}$ の理想ディジタル低域通過フィルタ（通過域の利得 $1$）で $4\text{kHz}$ を超える成分をすべて取り除く。アナログ雑音と量子化雑音は互いに無相関とする。

フィルタ出力での信号対雑音比（アナログ雑音と量子化雑音の両方を含む）を $80\text{dB}$ 以上にするために必要な最小のビット数 $N$ を求めよ。必要なら ${\log }_{10}2=0.3010$、${\log }_{10}3=0.4771$ を用いてよい。

周波数感度 $k_f$（単位は Hz/V）が未知の周波数変調（FM）器がある。この FM 器は、変調信号 $m(t)$（単位は V）に対して
$$s(t)=A\cos \left(2\pi f_{c}t+2\pi k_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right)$$
を出力する。ここで $A=10\text{V}$、$f_c=10.7\text{MHz}$ であり、$t$ は時刻（単位は s）である。

測定 変調信号を $m(t)=a\cos (2\pi \cdot 2000t)$ とし、振幅 $a$ を $0$ から少しずつ大きくしていったところ、$a=0.962\text{V}$ のときにはじめて $s(t)$ のスペクトルから周波数 $f_c$ の搬送波成分が消えた。

使用 次に、同じ FM 器に変調信号 $m(t)=0.6\cos (2\pi \cdot 1500t)$ を加え、出力 $s(t)$ を $1\Omega$ の抵抗に加える前に、通過域 $f_c-3.5\text{kHz}<f<f_c+3.5\text{kHz}$ で利得 $1$、それ以外の周波数で利得 $0$ の理想帯域通過フィルタに通した。抵抗で消費される平均電力（単位は W）を有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、変調指数 $\beta$ の正弦波 FM 波は $s(t)=A{\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(\beta )\cos \{2\pi (f_c+n{f}_m)t\}$（$f_m$ は変調信号の周波数、$J_n$ は第 1 種ベッセル関数で $J_{-n}(\beta )=(-1{)}^n{J}_n(\beta )$）と展開できることを用いてよい。$J_0(\beta )=0$ となる最小の正の $\beta$ は $2.405$ であり、$J_0(2)=0.2239$、$J_1(2)=0.5767$、$J_2(2)=0.3528$、$J_3(2)=0.1289$ とする。

ある因果的で安定な連続時間の線形時不変系に、入力
$$x_1(t)=e^{-3t}u(t)$$
を加えたところ、出力は
$$y_1(t)=\left(e^{-t}-e^{-3t}\right)u(t)$$
であった。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、入力・出力は無次元の量とする。また $t<0$ では系は静止している（初期状態は $0$）。

同じ系に、幅 $2\text{s}$ の矩形パルス
$$x_2(t)=u(t)-u(t-2)$$
を入力したときの出力を $y_2(t)$ とする。出力のエネルギー
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{y}_2(t{)}^{2}dt$$
の値を、$e$ を用いた正確な値で求めよ。

$N$ を $2$ 以上の整数とする。長さ $N$ の系列
$$x[n]=n(n=0,1,\dots ,N-1)$$
の $N$ 点離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定義する（$j$ は虚数単位）。直流成分を除いたスペクトルのエネルギーの和
$$\sum _{k=1}^{N-1}|X[k]{|}^2$$
を $N$ の式で求めよ。

伝達関数が
$$H(z)=\frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}+\frac{1}{2}{z}^{-2}}$$
で与えられる因果的な離散時間 IIR フィルタがある。このフィルタの周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数、$-\pi \le \omega \le \pi$）とするとき、
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\left|H(e^{j\omega })\right|}^{2}d\omega$$
の値を求めよ。

（この値は、平均 $0$・分散 ${\sigma }^2$ の白色雑音を入力したときの定常状態での出力の分散を ${\sigma }^2$ で割ったもの、すなわちフィルタの雑音電力利得に等しい。）

抵抗 $R=1\text{k}\Omega$ とコンデンサ $C=1\text{mF}$ からなる RC 低域通過回路がある。入力電圧 $v_{\text{in}}(t)$ を R と C の直列接続の両端に加え、C の両端の電圧を出力電圧 $v_{\text{out}}(t)$ とする（出力端には何も接続しない）。$t$ は時刻（単位は s）である。

この回路に、高さ $1\text{V}$、幅 $2\text{s}$ の矩形パルス
$$v_{\text{in}}(t)=u(t)-u(t-2)[\text{V}]$$
を入力する。ここで $u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、$t<0$ でコンデンサの電荷は $0$ とする。

出力電圧の二乗積分
$$W={\int }_{-\infty }^{\infty }{v}_{\text{out}}(t{)}^{2}dt[{\text{V}}^2\cdot \text{s}]$$
を求めよ。

$N$ を $2$ 以上の整数とし、$j$ を虚数単位とする。周波数が DFT のビン間隔のちょうど半分である複素正弦波系列
$$x[n]=e^{j\pi n/N}(n=0,1,\dots ,N-1)$$
を考え、その $N$ 点離散フーリエ変換（DFT）を
$$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。このとき
$$S=\sum _{k=0}^{N-1}{\left|X[k]\right|}^4$$
を $N$ の式で求めよ。