信号処理・通信工学の問題

インパルス応答が
$$h(t)=e^{-2t}u(t)$$
で与えられる連続時間の線形時不変系がある。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）である。この系に、幅 $1\text{s}$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力したとき（$t<0$ では系は静止しているとする）、時刻 $t=2$ における出力 $y(2)$ を正確な値で求めよ。

入力 $x(t)$ と出力 $y(t)$ の関係が微分方程式
$$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+4\frac{dy}{dt}+3y=x(t)$$
で表される因果的な連続時間の線形時不変系がある（$t$ は時刻で単位は s、$t<0$ で $x(t)=0,y(t)=0$ とする）。この系に、幅 $1\text{s}$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力する。ここで $u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）である。

出力 $y(t)$ が $t\ge 0$ で最大値をとる時刻 $t$（単位は s）を、正確な値で求めよ。

ある因果的で安定な連続時間の線形時不変系に、入力
$$x_1(t)=e^{-3t}u(t)$$
を加えたところ、出力は
$$y_1(t)=\left(e^{-t}-e^{-3t}\right)u(t)$$
であった。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、入力・出力は無次元の量とする。また $t<0$ では系は静止している（初期状態は $0$）。

同じ系に、幅 $2\text{s}$ の矩形パルス
$$x_2(t)=u(t)-u(t-2)$$
を入力したときの出力を $y_2(t)$ とする。出力のエネルギー
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{y}_2(t{)}^{2}dt$$
の値を、$e$ を用いた正確な値で求めよ。

抵抗 $R=1\text{k}\Omega$ とコンデンサ $C=1\text{mF}$ からなる RC 低域通過回路がある。入力電圧 $v_{\text{in}}(t)$ を R と C の直列接続の両端に加え、C の両端の電圧を出力電圧 $v_{\text{out}}(t)$ とする（出力端には何も接続しない）。$t$ は時刻（単位は s）である。

この回路に、高さ $1\text{V}$、幅 $2\text{s}$ の矩形パルス
$$v_{\text{in}}(t)=u(t)-u(t-2)[\text{V}]$$
を入力する。ここで $u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、$t<0$ でコンデンサの電荷は $0$ とする。

出力電圧の二乗積分
$$W={\int }_{-\infty }^{\infty }{v}_{\text{out}}(t{)}^{2}dt[{\text{V}}^2\cdot \text{s}]$$
を求めよ。

2 つの因果的な離散時間の線形時不変系 S${}_1$, S${}_2$ を、この順に縦続接続する（S${}_1$ の出力を S${}_2$ の入力とする）。$n$ は整数とする。

• S${}_1$ のインパルス応答は $h_1[n]={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n}u[n]$
• S${}_2$ の入力 $w[n]$ と出力 $y[n]$ の関係は $y[n]=w[n]-w[n-2]$

ここで $u[n]$ は単位ステップ系列（$n\ge 0$ で $1$、$n<0$ で $0$）である。全体の系に入力 $x[n]=u[n]$ を加えたときの出力 $y[n]$ について、エネルギー
$$\sum _{n=0}^{\infty }y[n{]}^2$$
を求めよ。ただし、初期状態は $0$ とする。