信号処理・通信工学の問題

連続時間の因果的な線形時不変系がある（$t$ は時刻を表す実数で、初期状態は $0$ とする）。この系に単位ステップ入力 $u(t)$（$t<0$ で $0$、$t\ge 0$ で $1$）を加えたときの出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left[1-(1+2t)e^{-2t}\right]u(t)$$
であった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$W={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

ある因果的で安定な連続時間の線形時不変系に、入力
$$x_1(t)=e^{-3t}u(t)$$
を加えたところ、出力は
$$y_1(t)=\left(e^{-t}-e^{-3t}\right)u(t)$$
であった。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、入力・出力は無次元の量とする。また $t<0$ では系は静止している（初期状態は $0$）。

同じ系に、幅 $2\text{s}$ の矩形パルス
$$x_2(t)=u(t)-u(t-2)$$
を入力したときの出力を $y_2(t)$ とする。出力のエネルギー
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{y}_2(t{)}^{2}dt$$
の値を、$e$ を用いた正確な値で求めよ。

因果的な連続時間の線形時不変系がある。初期状態は $0$ とする。$t$ は時刻を表す実数で、信号はすべて無次元量とする。

この系に単位ステップ関数
$$u(t)=\{\begin{array}{ll}1& (t\ge 0)\\ 0& (t<0)\end{array}$$
を入力すると、出力（ステップ応答）は
$$s(t)=\left(1-e^{-t}\cos t\right)u(t)$$
となった。

同じ系に入力 $x(t)=e^{-2t}u(t)$ を加えたときの出力を $y(t)$ とする。出力のエネルギー
$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t{)}^{2}dt$$
の値を求めよ。

インパルス応答が
$$h(t)=t{e}^{-t}u(t)$$
で与えられる連続時間の線形時不変系に、幅 $1$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力する。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、系は $t<0$ で静止している（出力は $0$）とする。

出力 $y(t)$ が最大値をとる時刻 $t$ を求めよ。

入力 $x[n]$ と出力 $y[n]$ の関係が差分方程式
$$y[n]=\frac{1}{3}y[n-1]+\frac{2}{3}x[n]$$
で表される因果的な離散時間 IIR フィルタを考える（$n$ は整数、初期状態は $0$ とする）。

このフィルタの伝達関数を $H(z)$ とし、周波数特性を $H(e^{j\omega })$（$\omega$ は正規化角周波数、$j$ は虚数単位）とする。電力利得 $|H(e^{j\omega }){|}^2$ が直流（$\omega =0$）での値の $\frac{1}{2}$ になる正規化角周波数 $\omega$ を、$0<\omega <\pi$ の範囲で求めよ。