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信号処理・通信工学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理信号処理・通信工学

連続時間の因果的な線形時不変系がある（ $t$ は時刻を表す実数で、初期状態は $0$ とする）。この系に単位ステップ入力 $u (t)$ （ $t < 0$ で $0$ 、 $t \geq 0$ で $1$ ）を加えたときの出力（ステップ応答）は
$s (t) = [1 - (1 + 2 t) e^{- 2 t}] u (t)$
であった。

同じ系に入力 $x (t) = e^{- t} u (t)$ を加えたときの出力を $y (t)$ とする。出力のエネルギー
$W = \int_{- \infty}^{\infty} y (t)^{2} d t$
を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

この問題で使うもの

伝達関数と過渡応答（説明と入口の問題）
ラプラス変換と逆変換（説明と入口の問題）
積と商の微分（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（78 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ステップ応答を微分するとインパルス応答が得られる。そこから伝達関数を求め、入力のラプラス変換との積で出力を求める。

ヒント 2

$h (t) = 4 t e^{- 2 t} u (t)$ 、 $H (s) = \frac{4}{( s + 2 ) ^{2}}$ となる。 $Y (s) = \frac{4}{( s + 1 ) ( s + 2 ) ^{2}}$ を部分分数に分解する。

ヒント 3

$y (t) = 4 (e^{- t} - e^{- 2 t} - t e^{- 2 t}) u (t)$ となる。あとは $\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{- pt} d t = \frac{n !}{p ^{n + 1}}$ を使って $y^{2}$ を積分する。

答えと解説

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\frac{5}{18}

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解説を読む

1. インパルス応答を求める

線形時不変系では、入力を微分すると出力も微分したものになる。単位インパルス $δ (t)$ は $u (t)$ の導関数なので、インパルス応答 $h (t)$ はステップ応答の導関数である。 $s (0) = 1 - 1 = 0$ で $s (t)$ は $t = 0$ で連続なので、 $t > 0$ で微分すればよい：
$h (t) = \frac{d s}{d t} = [- 2 e^{- 2 t} + 2 (1 + 2 t) e^{- 2 t}] u (t) = 4 t e^{- 2 t} u (t) .$

したがって伝達関数（ラプラス変換）は
$H (s) = L [4 t e^{- 2 t}] = \frac{4}{( s + 2 ) ^{2}} .$

2. 出力を求める

出力は畳み込み $y = h * x$ であり、ラプラス変換すると積になる。 $X (s) = \frac{1}{s + 1}$ より
$Y (s) = H (s) X (s) = \frac{4}{( s + 1 ) ( s + 2 ) ^{2}} = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{( s + 2 ) ^{2}} .$

$A = \frac{4}{( s + 2 ) ^{2}}_{s = - 1} = 4$
$C = \frac{4}{s + 1}_{s = - 2} = - 4$
$s = 0$ を代入すると $\frac{4}{4} = 1 = A + \frac{B}{2} + \frac{C}{4} = 4 + \frac{B}{2} - 1$ より $B = - 4$

よって
$y (t) = 4 (e^{- t} - e^{- 2 t} - t e^{- 2 t}) u (t) .$
（ $y (0) = 0$ となり、 $h (0) = 0$ の畳み込みと矛盾しない。）

3. エネルギーを計算する

$a = e^{- t}, b = e^{- 2 t}, c = t e^{- 2 t}$ とおくと $(a - b - c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 ab - 2 a c + 2 b c$ 。公式 $\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{- pt} d t = \frac{n !}{p ^{n + 1}}$ を使うと
$\int_{0}^{\infty} a^{2} d t = \frac{1}{2}, \int_{0}^{\infty} b^{2} d t = \frac{1}{4}, \int_{0}^{\infty} c^{2} d t = \frac{2}{4 ^{3}} = \frac{1}{32},$
$\int_{0}^{\infty} ab d t = \frac{1}{3}, \int_{0}^{\infty} a c d t = \frac{1}{9}, \int_{0}^{\infty} b c d t = \frac{1}{16} .$
したがって
$\int_{0}^{\infty} (a - b - c)^{2} d t = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{32} - \frac{2}{3} - \frac{2}{9} + \frac{1}{8} = \frac{144 + 72 + 9 - 192 - 64 + 36}{288} = \frac{5}{288} .$

ゆえに
$W = 16 \times \frac{5}{288} = \frac{5}{18} .$

別解

インパルス応答はステップ応答の微分で、 $s (0) = 0$ なのでデルタ関数の項はなく、 $h (t) = s^{'} (t) = 4 t e^{- 2 t} u (t)$ である。ラプラス変換すると $H (p) = 4/ (p + 2)^{2}$ となる。入力 $x (t) = e^{- t} u (t)$ は $X (p) = 1/ (p + 1)$ なので、出力は $Y (p) = 4/ ((p + 1) (p + 2)^{2})$ である。

部分分数分解すると $Y (p) = 4/ (p + 1) - 4/ (p + 2) - 4/ (p + 2)^{2}$ となる。逆変換して $y (t) = 4 (e^{- t} - e^{- 2 t} - t e^{- 2 t}) u (t)$ を得る。 $y (0) = 0$ で、これは畳み込み $\int_{0}^{t} 4 τ e^{- 2 τ} e^{- (t - τ)} d τ$ の値と整合する。

エネルギーは $W = 16 \int_{0}^{\infty} (e^{- t} - e^{- 2 t} - t e^{- 2 t})^{2} d t$ である。被積分関数を展開すると
$e^{- 2 t} + e^{- 4 t} + t^{2} e^{- 4 t} - 2 e^{- 3 t} - 2 t e^{- 3 t} + 2 t e^{- 4 t}$
となり、各項の積分は順に $1/2, 1/4, 1/32, - 2/3, - 2/9, 1/8$ である。

合計は $1/2 + 1/4 + 1/32 + 1/8 - 2/3 - 2/9 = 29/32 - 8/9 = 5/288$ となる。したがって $W = 16 \cdot 5/288 = 5/18$ である。

検算として、ラプラス変換の係数から $\int y d t = Y (0) = 1$ が成り立つことを確認した（ $y$ の各項の積分 $4 - 2 - 1 = 1$ ）。

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