LTI 系のインパルス応答と畳み込み

連続時間の線形時不変系の出力を畳み込み積分 $y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ$ で計算し、指数関数のインパルス応答に矩形パルスなどを入れたときの出力の値を求められる

前提

畳み込み（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

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算数中学高校大学大学院

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重積分と累次積分（大学数学微分積分）
畳み込み（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

RC 回路やフィルタのように、入力を重ね合わせると出力も重ね合わされ（線形）、入力を時間的にずらすと出力も同じだけずれるだけの系（時不変）を、線形時不変系（LTI 系）と呼びます。LTI 系は、ごく短い衝撃を入れたときの出力（インパルス応答 $h (t)$ ）を 1 つ知っていれば、どんな入力 $x (t)$ に対する出力も畳み込み積分 $y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ$ で計算できます。この技能では、指数関数のインパルス応答をもつ系に矩形パルスなどを入れたときの、ある時刻の出力の値を求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

幅 $Δ$ 、高さ $1/Δ$ （面積 1）の細い矩形パルスを $p_{Δ} (t)$ とします。 $Δ \to 0$ の極限の「面積 1 の瞬間的な衝撃」がインパルス（デルタ関数 $δ (t)$ ）で、これを入れたときの出力をインパルス応答 $h (t)$ と呼びます。実際には、十分細い $p_{Δ}$ を入れたときの出力が $h (t)$ に近づく、と考えればよいです。

任意の入力 $x (t)$ を、幅 $Δ$ の細い短冊の並びで近似します。時刻 $k Δ$ の短冊は高さ $x (k Δ)$ 、幅 $Δ$ なので、 $x (k Δ) Δ \cdot p_{Δ} (t - k Δ)$ と書けます（面積 $x (k Δ) Δ$ のパルスを $k Δ$ だけずらしたもの）。時不変性から、 $p_{Δ} (t - k Δ)$ に対する出力はほぼ $h (t - k Δ)$ 。線形性から、定数倍した入力の和に対する出力は出力の定数倍の和なので
$y (t) \approx k \sum x (k Δ) h (t - k Δ) Δ$
です。 $Δ \to 0$ でこの和は積分になり $y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (σ) h (t - σ) d σ$ 。 $τ = t - σ$ と置換すると $y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ$ となります。つまり時刻 $t$ の出力は「 $τ$ だけ前に入った入力 $x (t - τ)$ が、 $τ$ 経ったあとに残している影響 $h (τ)$ 」をすべての $τ$ について足し合わせたものです。

現実の系では、入力が入る前に出力は現れないので $τ < 0$ で $h (τ) = 0$ です（因果的な系）。例えば $h (t) = e^{- a t} u (t)$ （ $a > 0$ 、 $u (t)$ は $t \geq 0$ で 1、 $t < 0$ で 0 の階段関数）は、衝撃のあと指数関数的に減衰する応答で、RC 回路などに現れます。積分を実際に計算するときは、 $h (τ)$ と $x (t - τ)$ がともに 0 でない $τ$ の範囲を見つけ、そこだけで積分します。

手順

インパルス応答 $h (τ)$ と入力 $x$ を確認し、 $h (τ) \neq = 0$ となる $τ$ の範囲を書く（例: $h (τ) = e^{- a τ} u (τ)$ なら $τ \geq 0$ ）
求めたい時刻 $t$ を固定し、 $x (t - τ) \neq = 0$ となる $τ$ の範囲を求める（ $x$ が $0 \leq s \leq T$ で 0 でないなら、 $0 \leq t - τ \leq T$ より $t - T \leq τ \leq t$ ）
2 つの範囲の共通部分を積分区間にする。共通部分がなければ $y (t) = 0$
$y (t) = \int (共通部分) h (τ) x (t - τ) d τ$ を計算する

例題

インパルス応答が $h (t) = e^{- t} u (t)$ の連続時間 LTI 系に、入力 $x (t) = {10 (0 \leq t \leq 1) (それ以外)$ を加える。ここで $u (t)$ は $t \geq 0$ で 1、 $t < 0$ で 0 となる関数である。時刻 $t = 2$ での出力 $y (2)$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $h (τ) = e^{- τ} u (τ)$ は $τ \geq 0$ でだけ 0 でなく、そこで $e^{- τ}$ 。

【手順 2】 $t = 2$ とすると $x (2 - τ)$ が 1 になるのは $0 \leq 2 - τ \leq 1$ 、すなわち $1 \leq τ \leq 2$ 。それ以外では 0。

【手順 3】 $τ \geq 0$ と $1 \leq τ \leq 2$ の共通部分は $1 \leq τ \leq 2$ 。

【手順 4】
$y (2) = \int_{1}^{2} e^{- τ} \cdot 1 d τ = [- e^{- τ}]_{1}^{2} = e^{- 1} - e^{- 2} (\approx 0.233)$
（参考: 入力が切れた $t = 1$ では $y (1) = \int_{0}^{1} e^{- τ} d τ = 1 - e^{- 1}$ で、 $y (2) = e^{- 1} y (1)$ と指数関数的に減衰していることがわかる。）

答え: $e^{- 1} - e^{- 2}$

よくある誤り

入力を反転せずに $\int h (τ) x (τ - t) d τ$ や $\int h (τ) x (τ) d τ$ としてしまう誤り。正しくは $x (t - τ)$ で、例題では $x (2 - τ) \neq = 0$ となる範囲は $1 \leq τ \leq 2$ （ $x (τ - 2)$ なら $2 \leq τ \leq 3$ となり、 $e^{- 2} - e^{- 3}$ という誤った値になる）
因果性の条件 $h (τ) = 0 (τ < 0)$ を忘れ、入力がまだ入っていない時刻にも出力があるとしてしまう誤り。例えば $t = 0.5$ では $x (0.5 - τ) \neq = 0$ は $- 0.5 \leq τ \leq 0.5$ だが、正しくは $τ \geq 0$ との共通部分 $0 \leq τ \leq 0.5$ で積分し $y (0.5) = 1 - e^{- 0.5}$
時刻 $t$ によって積分区間が変わることを見落とし、どの $t$ でも同じ区間 $\int_{0}^{1}$ で計算してしまう誤り。 $t \geq 1$ では正しくは $\int_{t - 1}^{t} e^{- τ} d τ = (e - 1) e^{- t}$ 、 $0 \leq t < 1$ では $\int_{0}^{t} e^{- τ} d τ = 1 - e^{- t}$ 、 $t < 0$ では $0$
$h (τ)$ と $x (t - τ)$ の積ではなく、別々に積分した値を掛けて $(\int h d τ) (\int x d τ)$ としてしまう誤り。これは $y (t)$ を $t$ で全時間積分した値（例題では $1 \times 1 = 1$ ）であり、ある時刻の出力ではない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
連続時間の線形時不変系のインパルス応答が
$h (t) = {2 e^{- 2 t} 0 (t \geq 0) (t < 0)$
で与えられている。この系に、矩形パルス
$x (t) = {10 (0 \leq t \leq 1) (それ以外)$
を入力した。時刻 $t$ は実数（無次元）とする。時刻 $t = 2$ における出力 $y (2)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

伝達関数と過渡応答（大学物理信号処理・通信工学）