伝達関数と過渡応答

微分方程式で表された LTI 系の伝達関数 $H (s) = Y (s) / X (s)$ を求め、ステップ・パルス入力に対する出力をラプラス変換で求めて、その極値や時刻を求められる

前提

LTI 系のインパルス応答と畳み込み（大学物理信号処理・通信工学）
階段関数を含む方程式のラプラス変換（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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LTI 系のインパルス応答と畳み込み（大学物理信号処理・通信工学）
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ラプラス変換と逆変換（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
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1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）
ラプラス変換による微分方程式の解法（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
階段関数を含む方程式のラプラス変換（大学数学微分方程式）

説明

線形時不変（LTI）系の入力 $x (t)$ と出力 $y (t)$ の関係が定数係数の線形微分方程式で書かれているとき、両辺をラプラス変換すると、出力の変換 $Y (s)$ は入力の変換 $X (s)$ に $s$ の有理関数 $H (s)$ を掛けたもの $Y (s) = H (s) X (s)$ になります。この $H (s)$ を伝達関数といいます。伝達関数を一度求めておけば、ステップ入力やパルス入力に対する出力（過渡応答）を、掛け算と部分分数分解と逆変換だけで求められ、さらに出力が最大になる時刻や最大値も微分して求められます。回路の立ち上がりや機械系の行き過ぎ量を調べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

系は $t < 0$ で静止していた、つまり $t < 0$ で入力も出力も 0 で、 $t = 0$ の直前（ $t = 0^{-}$ と書く）での値が $y (0^{-}) = y^{'} (0^{-}) = 0$ だとします。入力が $t = 0$ で急に加わると、 $y$ や $y^{'}$ は $t = 0$ で跳ぶことがあるので、ラプラス変換の微分の公式 $L [y^{'}] = s Y (s) - y (0^{-})$ 、 $L [y^{''}] = s^{2} Y (s) - sy (0^{-}) - y^{'} (0^{-})$ では、跳ぶ前の値 $0^{-}$ を使います（ $\int_{0^{-}}^{\infty}$ で変換を定義し、 $t = 0$ での跳びも含めて扱うため）。こうすると静止状態からは $L [y^{'}] = s Y (s)$ 、 $L [y^{''}] = s^{2} Y (s)$ となり、微分は単に $s$ を掛けることに変わります。たとえば $a_{2} y^{''} + a_{1} y^{'} + a_{0} y = b_{1} x^{'} + b_{0} x$ を変換すると $(a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}) Y (s) = (b_{1} s + b_{0}) X (s)$ となり、
$H (s) = \frac{Y ( s )}{X ( s )} = \frac{b _{1} s + b _{0}}{a _{2} s ^{2} + a _{1} s + a _{0}}$
が得られます。 $H (s)$ は入力によらず、系だけで決まります。なお右辺に入力の微分（ $x^{'}$ など）があると、ステップ入力では $t = 0$ で $y^{'}$ が跳びます（下の例題では $y^{'} (0^{-}) = 0$ から $y^{'} (0^{+}) = 1$ に跳ぶ）。 $0^{-}$ の値を使えば、この跳びを気にせずに計算できます。

これは前提の技能とつながっています。LTI 系の出力は $y (t) = \int_{0}^{t} h (τ) x (t - τ) d τ$ （ $t < 0$ で $h = x = 0$ のとき）という畳み込みで、畳み込みのラプラス変換は積 $H (s) X (s)$ になります。つまり $H (s)$ はインパルス応答 $h (t)$ のラプラス変換そのものであり、面倒な畳み込み積分を $s$ 領域の掛け算に置き換えられるのがこの方法の利点です。

入力が単位ステップ $u (t)$ なら $X (s) = \frac{1}{s}$ 、高さ 1・幅 $T$ の矩形パルス $u (t) - u (t - T)$ なら $X (s) = \frac{1 - e ^{- T s}}{s}$ です。パルスの応答は、第 2 移動定理により「ステップ応答」から「 $T$ だけ遅れたステップ応答」を引いたものになります。出力が求まれば、極値は $y^{'} (t) = 0$ となる時刻を調べれば求められます。

手順

$t < 0$ で静止していた（ $0^{-}$ での初期値がすべて 0）として微分方程式の両辺をラプラス変換し（ $y^{(k)} \to s^{k} Y$ 、 $x^{(k)} \to s^{k} X$ ）、 $H (s) = \frac{Y ( s )}{X ( s )}$ を $s$ の有理式として求める
入力のラプラス変換 $X (s)$ を求める（単位ステップなら $\frac{1}{s}$ 、矩形パルス $u (t) - u (t - T)$ なら $\frac{1 - e ^{- T s}}{s}$ ）
$Y (s) = H (s) X (s)$ を計算し、部分分数に分解する（ $e^{- T s}$ が掛かった部分は、掛かっていない部分を分解してから考える）
逆ラプラス変換して $y (t)$ を求める。 $e^{- T s}$ の付いた項は第 2 移動定理で $f (t - T) u (t - T)$ にする
極値を求めるときは $y^{'} (t) = 0$ を解き、前後での $y^{'}$ の符号の変化（増減）を確かめて最大・最小を決め、その時刻を $y (t)$ に代入する

例題

入力 $x (t)$ 、出力 $y (t)$ の LTI 系が微分方程式 $y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = x^{'}$ で表され、 $t < 0$ では $x = y = 0$ で静止していた（ $t = 0$ の直前の値は $y = y^{'} = 0$ ）とする。この系に単位ステップ入力 $x (t) = u (t)$ を加えたとき、 $t > 0$ での出力 $y (t)$ の最大値を求めよ。

例題の解答

手順 1（伝達関数）： $0^{-}$ での初期値 0 で両辺を変換すると $(s^{2} + 3 s + 2) Y (s) = s X (s)$ 。よって
$H (s) = \frac{s}{s ^{2} + 3 s + 2} = \frac{s}{( s + 1 ) ( s + 2 )}$

手順 2（入力の変換）： $X (s) = \frac{1}{s}$ 。

手順 3（積と部分分数分解）：
$Y (s) = \frac{s}{( s + 1 ) ( s + 2 )} \cdot \frac{1}{s} = \frac{1}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{s + 2}$

手順 4（逆変換）： $y (t) = e^{- t} - e^{- 2 t} (t > 0)$ 。（ $y (0^{+}) = 0$ 、 $y^{'} (0^{+}) = - 1 + 2 = 1$ で、入力の微分 $x^{'}$ のために $y^{'}$ が $t = 0$ で 0 から 1 に跳んでいる。）

手順 5（極値）： $y^{'} (t) = - e^{- t} + 2 e^{- 2 t} = e^{- 2 t} (2 - e^{t})$ 。 $e^{- 2 t} > 0$ なので、 $y^{'} > 0 ⟺ e^{t} < 2 ⟺ t < lo g 2$ 、 $y^{'} < 0 ⟺ t > lo g 2$ 。よって $y$ は $0 < t < lo g 2$ で増加、 $t > lo g 2$ で減少し、 $t = lo g 2$ で最大となる。 $e^{- l o g 2} = \frac{1}{2}$ より
$y (lo g 2) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

よって最大値は $\frac{1}{4}$ 。

答え: $\frac{1}{4}$

よくある誤り

ステップ入力の変換 $\frac{1}{s}$ を掛け忘れ、 $Y (s) = H (s)$ として逆変換してしまう誤り。それはインパルス応答 $h (t)$ である。正しくはステップ応答は $Y (s) = H (s) \cdot \frac{1}{s}$
右辺の入力の導関数を見落とし、 $y^{''} + 3 y^{'} + 2 y = x^{'}$ の伝達関数を $\frac{1}{s ^{2} + 3 s + 2}$ としてしまう誤り。正しくは $x^{'} \to s X (s)$ なので $H (s) = \frac{s}{s ^{2} + 3 s + 2}$
パルス応答で、遅れた項を $f (t - T)$ とだけ書いて $u (t - T)$ を落とす誤り（ $t < T$ でもその項が効いてしまう）。正しくは $y (t) = g (t) - g (t - T) u (t - T)$ （ $g$ はステップ応答）で、 $0 < t < T$ では $y = g (t)$
$y^{'} (t) = 0$ の解をそのまま最大値の時刻としてしまう誤り。正しくは増減（ $y^{'}$ の符号の変化）を確かめ、端点 $t \to 0$ や $t \to \infty$ の値（たとえば安定な系のステップ応答の $t \to \infty$ での値 $H (0)$ ）とも比べて最大・最小を判断する

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
入力 $x (t)$ 、出力 $y (t)$ の線形時不変系が、微分方程式
$\frac{d ^{2} y}{d t ^{2}} + 3 \frac{d y}{d t} + 2 y = 2 \frac{d x}{d t}$
で表される（ $t$ は時刻で無次元とする）。 $t < 0$ では $x (t) = 0$ 、 $y (t) = 0$ で、系は静止している（初期値はすべて $0$ ）。時刻 $t = 0$ に単位ステップ入力 $x (t) = 1 (t \geq 0)$ を加えた。 $t > 0$ における出力 $y (t)$ の最大値を求めよ。

伝達関数と過渡応答

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題