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信号処理・通信工学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理信号処理・通信工学

因果的な連続時間の線形時不変系がある。初期状態は $0$ とする。 $t$ は時刻を表す実数で、信号はすべて無次元量とする。

この系に単位ステップ関数
$u (t) = {10 (t \geq 0) (t < 0)$
を入力すると、出力（ステップ応答）は
$s (t) = (1 - e^{- t} cos t) u (t)$
となった。

同じ系に入力 $x (t) = e^{- 2 t} u (t)$ を加えたときの出力を $y (t)$ とする。出力のエネルギー
$E = \int_{- \infty}^{\infty} y (t)^{2} d t$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

伝達関数と過渡応答（説明と入口の問題）
ラプラス変換と逆変換（説明と入口の問題）
積と商の微分（説明と入口の問題）
三角関数の積分（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（78 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ステップ応答を微分するとインパルス応答が得られます。そこから伝達関数 $H (s)$ を求め、 $Y (s) = H (s) X (s)$ で出力を求めましょう。

ヒント 2

$h (t) = e^{- t} (cos t + sin t) u (t)$ 、 $H (s) = \frac{s + 2}{s ^{2} + 2 s + 2}$ です。入力 $X (s) = \frac{1}{s + 2}$ との積で何が起こるかに注目しましょう。

ヒント 3

極と零点が打ち消し合って $Y (s) = \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}$ 、つまり $y (t) = e^{- t} sin t u (t)$ になります。あとは $\int_{0}^{\infty} e^{- 2 t} sin^{2} t d t$ を計算します。

答えと解説

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\frac{1}{8}

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解説を読む

1. インパルス応答を求める

線形時不変系では、インパルス応答 $h (t)$ はステップ応答 $s (t)$ を微分したものである（ $δ (t) = \frac{d u}{d t}$ であり、系が線形かつ時不変なので微分と系の作用を入れ替えられる）。

$s (t) = (1 - e^{- t} cos t) u (t)$ を微分する。 $t = 0$ で $1 - e^{- 0} cos 0 = 0$ なので、 $δ (t)$ の項は現れない。よって
$h (t) = \frac{d}{d t} (1 - e^{- t} cos t) u (t) = e^{- t} (cos t + sin t) u (t) .$

2. 伝達関数を求める

ラプラス変換の公式 $L [e^{- t} cos t] = \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}$ 、 $L [e^{- t} sin t] = \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}$ を使うと
$H (s) = \frac{s + 2}{( s + 1 ) ^{2} + 1} = \frac{s + 2}{s ^{2} + 2 s + 2} .$

確認として、ステップ応答のラプラス変換から求めることもできる。
$S (s) = \frac{1}{s} - \frac{s + 1}{s ^{2} + 2 s + 2}$
より
$H (s) = s S (s) = \frac{s ^{2} + 2 s + 2 - s ^{2} - s}{s ^{2} + 2 s + 2} = \frac{s + 2}{s ^{2} + 2 s + 2}$
となり、一致する。

3. 出力を求める

$X (s) = L [e^{- 2 t} u (t)] = \frac{1}{s + 2}$ である。初期状態が $0$ なので $Y (s) = H (s) X (s)$ が成り立ち、
$Y (s) = \frac{s + 2}{s ^{2} + 2 s + 2} \cdot \frac{1}{s + 2} = \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} .$
入力の極 $s = - 2$ が伝達関数の零点と打ち消し合う。逆ラプラス変換して
$y (t) = e^{- t} sin t u (t) .$

（畳み込みでの確認） $t \geq 0$ では
$y (t) = \int_{0}^{t} h (τ) x (t - τ) d τ = e^{- 2 t} \int_{0}^{t} e^{τ} (cos τ + sin τ) d τ .$
$\frac{d}{d τ} (e^{τ} sin τ) = e^{τ} (sin τ + cos τ)$ なので、積分は $e^{t} sin t$ になる。よって $y (t) = e^{- t} sin t$ となり、上の結果と一致する。

4. エネルギーを計算する

$sin^{2} t = \frac{1 - cos 2 t}{2}$ を使うと
$E = \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t} sin^{2} t d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t} d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t} cos 2 t d t .$
ここで
$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 t} d t = \frac{1}{2}, \int_{0}^{\infty} e^{- a t} cos b t d t = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}$
である。後者に $a = 2$ 、 $b = 2$ を代入すると $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ となる。したがって
$E = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8} .$

別解

ステップ応答の微分がインパルス応答である。 $s (0) = 1 - 1 = 0$ なので $δ$ 項はなく、 $h (t) = s^{'} (t) = e^{- t} (cos t + sin t) u (t)$ となる。

ラプラス変換すると $H (s) = \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} + \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1} = \frac{s + 2}{s ^{2} + 2 s + 2}$ である。

入力 $x (t) = e^{- 2 t} u (t)$ のラプラス変換は $X (s) = \frac{1}{s + 2}$ である。よって
$Y (s) = H (s) X (s) = \frac{1}{s ^{2} + 2 s + 2} = \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 1}$
となり、逆変換して $y (t) = e^{- t} sin t u (t)$ を得る。

エネルギーは
$E = \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t} sin^{2} t d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{- 2 t} (1 - cos 2 t) d t$
である。ここで $\int_{0}^{\infty} e^{- 2 t} d t = \frac{1}{2}$ 、 $\int_{0}^{\infty} e^{- 2 t} cos 2 t d t = \frac{2}{2 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{1}{4}$ なので、
$E = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{8}$
となる。

検算： $y (t)$ は $s = - 1 \pm i$ に極をもつ安定な系の出力であり、積分は収束する。上の計算で各積分値を確認した。

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