階段関数を含む方程式のラプラス変換

単位階段関数 $u (t - a)$ と第 2 移動定理 $L [f (t - a) u (t - a)] = e^{- a s} F (s)$ を使い、途中で外力が切り替わる初期値問題を解いて特定の時刻の値を求められる

前提

ラプラス変換による微分方程式の解法（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

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算数中学高校大学大学院

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ラプラス変換による微分方程式の解法（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

外力や入力が時刻 $t = a$ で突然切り替わる微分方程式では、右辺が「場合分けされた関数」になります。単位階段関数 $u (t - a)$ を使うと、この場合分けを 1 本の式で書けます。そのうえで第 2 移動定理 $L [f (t - a) u (t - a)] = e^{- a s} F (s)$ を使えば、ラプラス変換で初期値問題をまとめて解けます。スイッチを入れる・切る回路や、途中から力が加わるばねなどで、特定の時刻の値を求めるのに使います。

なぜそうしてよいのか

単位階段関数を、 $a \geq 0$ に対して $u (t - a) = 0 (t < a)$ 、 $u (t - a) = 1 (t \geq a)$ と定めます。関数に $u (t - a)$ を掛けると、 $t < a$ では $0$ になり、 $t \geq a$ ではもとの値のままです。つまり「 $t = a$ でスイッチが入る」ことを表します。たとえば $t < a$ で $g_{1} (t)$ 、 $t \geq a$ で $g_{2} (t)$ となる関数は $g_{1} (t) + {g_{2} (t) - g_{1} (t)} u (t - a)$ と書けます。 $t \geq a$ で差の分だけ上乗せするからです。

第 2 移動定理は、定義から直接導けます。 $f (t)$ のラプラス変換を $F (s)$ とします。 $t < a$ では被積分関数が $0$ なので
$L [f (t - a) u (t - a)] = \int_{a}^{\infty} e^{- s t} f (t - a) d t$
です。ここで $τ = t - a$ と置換すると $t = τ + a$ 、 $d t = d τ$ で、積分範囲は $τ : 0 \to \infty$ になります。よって
$\int_{0}^{\infty} e^{- s (τ + a)} f (τ) d τ = e^{- a s} \int_{0}^{\infty} e^{- s τ} f (τ) d τ = e^{- a s} F (s)$
となります。特に $f = 1$ とすると $L [u (t - a)] = \frac{e ^{- a s}}{s} (s > 0)$ です。

この式は「グラフを右へ $a$ だけずらして $t < a$ を $0$ にする」操作が、 $s$ の世界では「 $e^{- a s}$ を掛ける」ことに対応すると読めます。逆変換では逆向きに使い、 $e^{- a s} F (s)$ を見たら、まず $F (s)$ の逆変換 $f (t)$ を求めてから $f (t - a) u (t - a)$ とします。

手順

右辺の外力を階段関数で 1 本の式にする： $t < a$ で $g_{1}$ 、 $t \geq a$ で $g_{2}$ なら $g (t) = g_{1} (t) + {g_{2} (t) - g_{1} (t)} u (t - a)$ 。 $u (t - a)$ に掛かる部分は $t - a$ の関数 $f (t - a)$ の形に書き直す
両辺をラプラス変換する。左辺は $L [y^{'}] = s Y - y (0)$ などの微分の公式で、右辺は $L [f (t - a) u (t - a)] = e^{- a s} F (s)$ （特に $L [u (t - a)] = \frac{e ^{- a s}}{s}$ ）で変換する
$Y (s)$ について解き、 $e^{- a s}$ を含まない項と、 $e^{- a s} \times (有理式)$ の項に分ける
$e^{- a s}$ を外した有理式 $F (s)$ を部分分数分解して $f (t)$ を求め、 $e^{- a s} F (s) \to f (t - a) u (t - a)$ と逆変換する（ $t$ を $t - a$ に置き換える）
求めたい時刻 $t_{0}$ を代入する。 $t_{0} \geq a$ なら $u (t_{0} - a) = 1$ 、 $t_{0} < a$ なら $u (t_{0} - a) = 0$ として計算する

例題

初期値問題 $y^{'} + 2 y = g (t)$ 、 $y (0) = 1$ を考える。ただし $g (t) = 0 (0 \leq t < 1)$ 、 $g (t) = 4 (t \geq 1)$ とする。 $y (2)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1： $g (t)$ は $t = 1$ で $0$ から $4$ に切り替わるので、 $g (t) = 0 + (4 - 0) u (t - 1) = 4 u (t - 1)$ と書ける。

手順 2：両辺をラプラス変換する。 $Y (s) = L [y]$ とすると $L [y^{'}] = s Y - y (0) = s Y - 1$ である。右辺は $L [4 u (t - 1)] = \frac{4 e ^{- s}}{s}$ なので
$s Y - 1 + 2 Y = \frac{4 e ^{- s}}{s} .$

手順 3： $Y$ について解くと
$Y = \frac{1}{s + 2} + e^{- s} \cdot \frac{4}{s ( s + 2 )} .$

手順 4：第 1 項の逆変換は $e^{- 2 t}$ である。第 2 項では $e^{- s}$ を外した $F (s) = \frac{4}{s ( s + 2 )}$ を部分分数分解して $F (s) = \frac{2}{s} - \frac{2}{s + 2}$ を得る。よって $f (t) = 2 - 2 e^{- 2 t}$ である。第 2 移動定理（ $a = 1$ ）から、第 2 項の逆変換は $f (t - 1) u (t - 1) = {2 - 2 e^{- 2 (t - 1)}} u (t - 1)$ となる。したがって
$y (t) = e^{- 2 t} + {2 - 2 e^{- 2 (t - 1)}} u (t - 1) .$
（確認： $t < 1$ では $y = e^{- 2 t}$ で、 $y^{'} + 2 y = 0$ を満たす。 $t \geq 1$ では $y^{'} + 2 y = 4$ を満たす。 $t = 1$ ではどちらの式も $e^{- 2}$ になり、 $y$ は連続である。）

手順 5： $t = 2 \geq 1$ なので $u (2 - 1) = 1$ である。よって
$y (2) = e^{- 4} + 2 - 2 e^{- 2} .$

答え: $2 - 2 e^{- 2} + e^{- 4}$

よくある誤り

$e^{- a s} F (s)$ の逆変換を $f (t) u (t - a)$ としてしまう誤り。正しくは、ずらした $f (t - a) u (t - a)$ である。例： $e^{- s} \frac{1}{s + 2}$ の逆変換は $e^{- 2 t} u (t - 1)$ ではなく $e^{- 2 (t - 1)} u (t - 1)$ 。
$L [t u (t - a)] = \frac{e ^{- a s}}{s ^{2}}$ としてしまう誤り。第 2 移動定理を使うには、掛かっている関数を $t - a$ の式に直す必要がある。 $t = (t - a) + a$ と書き直すと、 $L [t u (t - a)] = e^{- a s} (\frac{1}{s ^{2}} + \frac{a}{s})$ となる。
値が途中で $1$ から $3$ に変わる外力を $3 u (t - a)$ と書いてしまう誤り。これでは $t < a$ での値 $1$ が消える。正しくは $1 + (3 - 1) u (t - a) = 1 + 2 u (t - a)$ 。
最後に時刻を代入するとき、 $u (t - a)$ を無視して $t < a$ でも後半の項を足してしまう誤り。例題では $y (0.5)$ は $u (- 0.5) = 0$ より $e^{- 1}$ だけであり、 $e^{- 1} + 2 - 2 e^{1}$ ではない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 3（期末試験の応用レベル）
$t \geq 0$ で定義された関数 $y (t)$ が、初期値問題
$y^{''} + 2 y^{'} + 2 y = 2 u (t - π), y (0) = 0, y^{'} (0) = 1$
を満たすとする。ただし $u (t)$ は単位階段関数（ヘヴィサイド関数）で、 $t < 0$ のとき $u (t) = 0$ 、 $t \geq 0$ のとき $u (t) = 1$ とする。ラプラス変換を用いて $y (t)$ を求め、 $y (\frac{3 π}{2})$ の値を求めよ。

この技能の次に学べること

伝達関数と過渡応答（大学物理信号処理・通信工学）