微分方程式の問題

$Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]$ とおく。$\mathcal{L}[y^{\prime \prime }]=s^{2}Y-sy(0)-y^{\prime }(0)=s^{2}Y-1$、$\mathcal{L}[y^{\prime }]=sY-y(0)=sY$ であり、第 2 移動定理より $\mathcal{L}[u(t-\pi )]=\frac{e^{-\pi s}}{s}$ である。

両辺をラプラス変換すると
$$s^{2}Y-1+2sY+2Y=\frac{2e^{-\pi s}}{s}$$
となるので
$$Y(s)=\frac{1}{s^2+2s+2}+e^{-\pi s}\cdot \frac{2}{s(s^2+2s+2)}.$$

第 1 項 $s^2+2s+2=(s+1{)}^2+1$ より、${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{(s+1{)}^2+1}\right]=e^{-t}\sin t$。

第 2 項 部分分数に分解する。
$$\frac{2}{s(s^2+2s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^2+2s+2}$$
とおくと、$2=A(s^2+2s+2)+(Bs+C)s$。$s=0$ として $A=1$。$s^2$ の係数から $A+B=0$ より $B=-1$、$s$ の係数から $2A+C=0$ より $C=-2$。よって
$$\frac{2}{s(s^2+2s+2)}=\frac{1}{s}-\frac{s+2}{(s+1{)}^2+1}=\frac{1}{s}-\frac{s+1}{(s+1{)}^2+1}-\frac{1}{(s+1{)}^2+1}$$
であり、その逆変換は $g(t)=1-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t$ である。

第 2 移動定理 ${\mathcal{L}}^{-1}[e^{-\pi s}G(s)]=u(t-\pi )g(t-\pi )$ を使うと
$$y(t)=e^{-t}\sin t+u(t-\pi )\left\{1-e^{-(t-\pi )}\left(\cos (t-\pi )+\sin (t-\pi )\right)\right\}.$$
$\cos (t-\pi )=-\cos t$、$\sin (t-\pi )=-\sin t$ より、
$$y(t)=e^{-t}\sin t+u(t-\pi )\left\{1+e^{-(t-\pi )}(\cos t+\sin t)\right\}.$$

$t=\frac{3\pi }{2}$ のとき $u\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$、$\sin \frac{3\pi }{2}=-1$、$\cos \frac{3\pi }{2}=0$、$t-\pi =\frac{\pi }{2}$ なので
$$y\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-e^{-\frac{3\pi }{2}}+1+e^{-\frac{\pi }{2}}\cdot (0-1)=1-e^{-\frac{\pi }{2}}-e^{-\frac{3\pi }{2}}.$$

（確認）$t>\pi$ では $y=1+(\text{斉次解})$ であり、定数 $1$ は $2\cdot 1=2$ を満たす。また $t=\pi$ で括弧内の値は $1+1\cdot (-1+0)=0$、その導関数 $-2e^{-(t-\pi )}\sin t$ も $0$ となり、$y,y^{\prime }$ は $t=\pi$ で連続である。

両辺をラプラス変換する。$Y(s)=\mathcal{L}[y]$ とおくと、$y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$ より $\mathcal{L}[y^{\prime \prime }]=s^{2}Y-1$、$\mathcal{L}[y^{\prime }]=sY$、$\mathcal{L}[2u(t-\pi )]=\frac{2e^{-\pi s}}{s}$。よって
$$(s^2+2s+2)Y=1+\frac{2e^{-\pi s}}{s}.$$
$$Y=\frac{1}{(s+1{)}^2+1}+e^{-\pi s}\cdot \frac{2}{s((s+1{)}^2+1)}.$$
部分分数分解: $\frac{2}{s(s^2+2s+2)}=\frac{1}{s}-\frac{s+2}{(s+1{)}^2+1}=\frac{1}{s}-\frac{s+1}{(s+1{)}^2+1}-\frac{1}{(s+1{)}^2+1}$。(通分して $(s^2+2s+2)-s(s+2)=2$ となり確かめられる。)
逆変換すると ${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{(s+1{)}^2+1}\right]=e^{-t}\sin t$、${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{2}{s(s^2+2s+2)}\right]=1-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t$。第2項は $t$ 軸方向に $\pi$ だけずらす(第2移動定理)ので
$$y(t)=e^{-t}\sin t+u(t-\pi )\left[1-e^{-(t-\pi )}\{\cos (t-\pi )+\sin (t-\pi )\}\right].$$
$t=\frac{3\pi }{2}>\pi$ なので $u=1$。$\sin \frac{3\pi }{2}=-1$、$\cos \frac{\pi }{2}=0$、$\sin \frac{\pi }{2}=1$ を用いて
$$y\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-e^{-3\pi /2}+1-e^{-\pi /2}=1-e^{-\pi /2}-e^{-3\pi /2}.$$
検算: $t<\pi$ で $y=e^{-t}\sin t$ は $y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$ を満たし同次方程式の解。$t>\pi$ の部分は特解 $1$ ($2\cdot 1=2$)を含み、$t=\pi$ で値 $0$・微分 $0$ の連続性($1-(1+0)\cdot ...$ すなわち $1-e^0(\cos 0+\sin 0)=0$、導関数 $e^{-\tau }(\cos \tau +\sin \tau )-e^{-\tau }(-\sin \tau +\cos \tau )=2e^{-\tau }\sin \tau =0$ at $\tau =0$)も成り立つ。