微分方程式の問題

$Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]$ とおく。

1. 両辺をラプラス変換する。

$\mathcal{L}[y^{\prime }]=sY(s)-y(0)=sY(s)-1$ である。

右辺は第 2 移動定理 $\mathcal{L}[f(t-a)u(t-a)]=e^{-as}F(s)$ で $f(t)=4$、$a=1$ とすれば、$F(s)=\frac{4}{s}$ より
$$\mathcal{L}[4u(t-1)]=\frac{4e^{-s}}{s}$$
となる。よって
$$sY-1+2Y=\frac{4e^{-s}}{s}$$
が成り立つ。

2. $Y(s)$ について解く。
$$Y(s)=\frac{1}{s+2}+e^{-s}\cdot \frac{4}{s(s+2)}$$

3. 部分分数分解する。
$$\frac{4}{s(s+2)}=\frac{2}{s}-\frac{2}{s+2}$$
であるから、この逆ラプラス変換は $g(t)=2-2e^{-2t}$ である。

4. 逆ラプラス変換する。

第 2 移動定理を逆向きに使うと、${\mathcal{L}}^{-1}[e^{-s}G(s)]=g(t-1)u(t-1)$ である。したがって
$$y(t)=e^{-2t}+\left(2-2e^{-2(t-1)}\right)u(t-1)$$
となる。

5. $t=2$ を代入する。

$u(1)=1$ であるから
$$y(2)=e^{-4}+2-2e^{-2}$$
となる。

（確認）$0\le t<1$ では $y=e^{-2t}$ なので、$y(1)=e^{-2}$ である。$t\ge 1$ では $y^{\prime }+2y=4$ を解くと $y=2+C{e}^{-2(t-1)}$ となり、$t=1$ で $y=e^{-2}$ とつながる条件から $C=e^{-2}-2$ である。よって $y(2)=2+(e^{-2}-2)e^{-2}$ となり、上の結果と一致する。

答え: $y(2)=2-2e^{-2}+e^{-4}$

両辺をラプラス変換する。$Y(s)=\mathcal{L}[y]$ とすると、$sY-1+2Y=4e^{-s}/s$ なので
$$Y(s)=\frac{1}{s+2}+\frac{4e^{-s}}{s(s+2)}.$$
部分分数分解により $\frac{4}{s(s+2)}=\frac{2}{s}-\frac{2}{s+2}$ である。
逆変換すると
$$y(t)=e^{-2t}+2(1-e^{-2(t-1)})u(t-1).$$
$t=2$ を代入すると
$$y(2)=e^{-4}+2(1-e^{-2}).$$

検算：$0\le t<1$ では $y=e^{-2t}$ で、$t=1$ のとき $y(1)=e^{-2}$ である。$t\ge 1$ では $y^{\prime }+2y=4$ の解は $y=2+C{e}^{-2t}$ となる。$y(1)=e^{-2}$ より $2+C{e}^{-2}=e^{-2}$ なので $C=1-2e^2$ である。したがって $y(2)=2+(1-2e^2)e^{-4}=2+e^{-4}-2e^{-2}$ となり、先の結果と一致する。