フーリエ級数

関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x\leqq \pi$ で $f(x)=x$ とし、周期 $2\pi$ で実数全体に拡張した周期関数とする。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
とし、係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
で定める。正の整数 $n$ に対して、$b_n$ を $n$ の式で求めよ。

関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x\leqq \pi$ において $f(x)=x$ とし、周期 $2\pi$ で実数全体に拡張した関数とする。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
と表す。ここで、フーリエ係数は
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。正の整数 $n$ に対して、$b_n$ を $n$ の式で求めよ。

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x<\pi$ で $f(x)=x$ となるように定める。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
と表すとき、フーリエ係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。

関数 $f(x)=x(0\le x\le \pi )$ を奇関数として区間 $-\pi \le x\le \pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の関数に拡張して、正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
に展開する。正の整数 $n$ に対して、係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。

区間 $0\le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ を奇関数として区間 $-\pi <x<\pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の周期関数に拡張する。こうして得られる関数の正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
の係数 $b_n$ を、正の整数 $n$ の式で求めよ。

区間 $0\le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ を奇関数として区間 $-\pi <x<\pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の周期関数に拡張して、正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
に展開する。正の整数 $n$ に対して、係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。

区間 $-\pi <x<\pi$ で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (-\pi <x<0)\\ 0& (x=0)\\ 1& (0<x<\pi )\end{array}$$
のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。計算すると、すべての $n$ で $a_n=0$ であり、$f(x)$ のフーリエ級数は
$$\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin (2k-1)x}{2k-1}$$
となる。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^2}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots$$
の和を求めよ。

$[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f$ を $f(x)=x(\pi -|x|)$ で定める。$f$ のフーリエ級数とパーセバルの等式を用いて、級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^6}$$
の値を求めよ。

$2\pi$ 周期関数 $f(x)=|\sin x|$ の $[-\pi ,\pi ]$ におけるフーリエ級数を求め、パーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

$[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f(x)=\cos \frac{x}{3}$ を周期 $2\pi$ で $\mathbb{R}$ 全体に拡張した関数（同じ記号 $f$ で表す）のフーリエ級数 $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$ を求め、それを $x=\pi$ で考えることにより、無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{9n^2-1}$$ の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n\ge 0),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n\ge 1)$$
とする。これらの係数を計算し、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $\pi$ と $e^{2\pi }$ を用いた式で表せ（双曲線関数は用いないこと）。

区間 $[-\pi ,\pi ]$ 上で区分的に連続な実数値関数 $f$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。このとき成り立つパーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
は用いてよい。

関数 $f(x)=|x|(-\pi \le x\le \pi )$ のフーリエ係数を計算し、パーセバルの等式を用いて
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}=\frac{{\pi }^4}{96}$$
が成り立つことを証明せよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sin }^{2}n{\sin }^2(2n)}{n^4}$$
の値を求めよ。ただし $\sin$ の引数は弧度法で表したものとする。

（方針の指定）$[-\pi ,\pi ]$ 上で区間 $[-1,1]$ の指示関数と区間 $[-2,2]$ の指示関数をそれぞれ考え、$2\pi$ 周期的に拡張する。それらの周期的畳み込みのフーリエ係数を求め、パーセバルの等式を用いて求めること。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数
$$f(x)=x(\pi -|x|)$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ級数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
の係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=\cos \frac{x}{2}$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
とする。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $m$ は正の整数を動く。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $e$ と $\pi$ を用いて表せ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),$$
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。フーリエ係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,2\pi ])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^{2\pi }|x-y|(2\pi -|x-y|)f(y)dy(f\in L^2([0,2\pi ]),x\in [0,2\pi ])$$
で定める。$T$ は有界な自己共役作用素であり、そのスペクトル $\sigma (T)$ は $\mathbb{R}$ のコンパクト部分集合である。$\sigma (T)$ の最小値と最大値を、この順に組で求めよ。

$a$ を整数でない実数とする。次の事実は用いてよい。

（事実）$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ が周期 $2\pi$ の連続関数で、区間 $[-\pi ,\pi ]$ を有限個の閉区間に分けると各閉区間上で $C^1$ 級（端点では片側微分係数を考える）であるとき、$F$ のフーリエ級数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }F(x)\sin nxdx$$
はすべての $x\in \mathbb{R}$ で $F(x)$ に収束する。

このとき、関数 $x\mapsto \cos ax$ $(-\pi \le x\le \pi )$ のフーリエ級数を用いて、級数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2a}{a^2-n^2}$ が収束し、
$$\pi \cot \pi a=\frac{1}{a}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2a}{a^2-n^2}$$
が成り立つことを証明せよ。