この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

フーリエ解析・ラプラス変換の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル証明問題大学数学フーリエ解析・ラプラス変換

区間 $[- π, π]$ 上で区分的に連続な実数値関数 $f$ のフーリエ係数を
$a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x (n = 0, 1, 2, \dots), b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x (n = 1, 2, \dots)$
で定める。このとき成り立つパーセバルの等式
$\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x)^{2} d x = \frac{a _{0}^{2}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$
は用いてよい。

関数 $f (x) = ∣ x ∣ (- π \leq x \leq π)$ のフーリエ係数を計算し、パーセバルの等式を用いて
$k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{4}} = \frac{π ^{4}}{96}$
が成り立つことを証明せよ。

この問題で使うもの

フーリエ級数（説明と入口の問題）
パーセバルの等式と級数の和（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$∣ x ∣$ は偶関数なので $b_{n}$ はすべて 0 になります。 $a_{n}$ を計算してパーセバルの等式に代入すれば、奇数の 4 乗の逆数の和が現れます。

ヒント 2

$\int_{0}^{π} x cos n x d x$ は部分積分で計算できます。 $cos nπ = (- 1)^{n}$ に注意すると、 $n$ が偶数か奇数かで値が変わります。

ヒント 3

$a_{0} = π$ 、 $n$ が奇数のとき $a_{n} = - \frac{4}{π n ^{2}}$ 、正の偶数のとき $a_{n} = 0$ になります。左辺は $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x^{2} d x$ を計算します。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$f$ が偶関数であることから $b_{n} = 0$ を理由をつけて導いている（2 点）
$a_{0} = π$ を正しく計算している（1 点）
部分積分で $a_{n} = \frac{2 (( - 1 ) ^{n} - 1 )}{π n ^{2}}$ を求め、奇数・偶数で場合分けしている（3 点）
左辺 $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x^{2} d x = \frac{2 π ^{2}}{3}$ を計算している（1 点）
パーセバルの等式に代入し、奇数番目だけが残ることを $n = 2 k - 1$ と書き直して整理し、 $\frac{π ^{4}}{96}$ を導いている（3 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

Step 1: $b_{n}$ の計算. $f (x) = ∣ x ∣$ は $[- π, π]$ 上で連続（とくに区分的に連続）な偶関数であり、 $sin n x$ は奇関数なので、 $f (x) sin n x$ は奇関数である。対称な区間での奇関数の積分は 0 だから、すべての $n \geq 1$ で $b_{n} = 0$ である。

Step 2: $a_{0}$ の計算. $f$ は偶関数なので
$a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} ∣ x ∣ d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x d x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π ^{2}}{2} = π .$

Step 3: $a_{n} (n \geq 1)$ の計算. $f (x) cos n x$ は偶関数なので
$a_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x cos n x d x .$
部分積分（ $u = x$ , $v^{'} = cos n x$ , $v = \frac{sin n x}{n}$ ）により
$\int_{0}^{π} x cos n x d x = [\frac{x sin n x}{n}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{sin n x}{n} d x = 0 + [\frac{cos n x}{n ^{2}}]_{0}^{π} = \frac{( - 1 ) ^{n} - 1}{n ^{2}} .$
ここで $sin nπ = 0$ , $cos nπ = (- 1)^{n}$ を使った。よって
$a_{n} = \frac{2 ( ( - 1 ) ^{n} - 1 )}{π n ^{2}} = ⎩ ⎨ ⎧ - \frac{4}{π n ^{2}} 0 (n が奇数) (n が正の偶数)$
である。

Step 4: 左辺の計算.
$\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} ∣ x ∣^{2} d x = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x^{2} d x = \frac{1}{π} \cdot \frac{2 π ^{3}}{3} = \frac{2 π ^{2}}{3} .$

Step 5: パーセバルの等式の適用. $f$ は区分的に連続なのでパーセバルの等式が使える。Step 1〜3 より、右辺で 0 でない項は $a_{0}$ と奇数番目の $a_{n}$ だけであり、 $n = 2 k - 1 (k = 1, 2, \dots)$ と書けるので
$\frac{2 π ^{2}}{3} = \frac{π ^{2}}{2} + k = 1 \sum \infty \frac{16}{π ^{2} ( 2 k - 1 ) ^{4}} .$
移項して
$\frac{16}{π ^{2}} k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{4}} = \frac{2 π ^{2}}{3} - \frac{π ^{2}}{2} = \frac{π ^{2}}{6} .$
両辺に $\frac{π ^{2}}{16}$ を掛けると
$k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{4}} = \frac{π ^{4}}{96} .$
以上で示された。 $■$

フーリエ解析・ラプラス変換の問題

この問題で使うもの

ヒント

採点の観点と模範解答

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題