フーリエ解析・ラプラス変換の問題

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (-\pi \le x<0)\\ 1& (0\le x\le \pi )\end{array}$$
のフーリエ級数は
$$\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin (2k-1)x}{2k-1}=\frac{4}{\pi }\left(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots \right)$$
である。すなわち、フーリエ係数 $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$, $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$ は、$a_n=0(n\ge 0)$ であり、$n$ が奇数のとき $b_n=\frac{4}{n\pi }$、$n$ が正の偶数のとき $b_n=0$ である。

パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^2}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots$$
の和を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ のフーリエ級数は
$$x\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin nxdx=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}(n=1,2,3,\dots )$$
であり、余弦の係数はすべて $a_n=0(n=0,1,2,\dots )$ である。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$$
の和を求めよ。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $e$ と $\pi$ を用いて表せ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),$$
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。フーリエ係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $m$ は正の整数を動く。