この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

フーリエ解析・ラプラス変換の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学フーリエ解析・ラプラス変換

区間 $- π ≦ x ≦ π$ で定義された関数 $f (x) = e^{x}$ のフーリエ係数を
$a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x (n = 0, 1, 2, \dots), b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x (n = 1, 2, 3, \dots)$
で定める。パーセバルの等式
$\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x)^{2} d x = \frac{a _{0}^{2}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n}^{2} + b_{n}^{2})$
を用いて、無限級数
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + 1}$
の値を求めよ。答えは $e$ と $π$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

フーリエ級数（説明と入口の問題）
パーセバルの等式と級数の和（説明と入口の問題）
オイラーの公式（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（62 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $a_{n}$ , $b_{n}$ を計算しましょう。 $\int_{- π}^{π} e^{x} e^{- in x} d x$ を計算して実部と虚部に分けると、両方を一度に求められます。

ヒント 2

$c = e^{π} - e^{- π}$ とおくと $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} c}{π ( 1 + n ^{2} )}$ 、 $b_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n + 1} n c}{π ( 1 + n ^{2} )}$ となり、 $a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = \frac{c ^{2}}{π ^{2} ( 1 + n ^{2} )}$ です。

ヒント 3

左辺は $\frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2 π}$ です。 $e^{2 π} - e^{- 2 π} = (e^{π} - e^{- π}) (e^{π} + e^{- π})$ と因数分解して、パーセバルの等式を $\sum \frac{1}{n ^{2} + 1}$ について解きましょう。

答えと解説

答えを見る

\frac{π}{2} \cdot \frac{e ^{2 π} + 1}{e ^{2 π} - 1} - \frac{1}{2}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

フーリエ係数. $n$ を $0$ 以上の整数とし、複素数の指数関数を使って
$\int_{- π}^{π} e^{x} e^{- in x} d x = [\frac{e ^{(1 - in) x}}{1 - in}]_{- π}^{π} = \frac{e ^{π} e ^{- inπ} - e ^{- π} e ^{inπ}}{1 - in} .$
$e^{\pm inπ} = (- 1)^{n}$ なので、これは
$\frac{( - 1 ) ^{n} ( e ^{π} - e ^{- π} )}{1 - in} = \frac{( - 1 ) ^{n} ( e ^{π} - e ^{- π} ) ( 1 + in )}{1 + n ^{2}} .$
$e^{- in x} = cos n x - i sin n x$ より、実部が $\int e^{x} cos n x d x$ 、虚部の $- 1$ 倍が $\int e^{x} sin n x d x$ である。 $c = e^{π} - e^{- π}$ とおくと
$a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} c}{π ( 1 + n ^{2} )}, b_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n + 1} n c}{π ( 1 + n ^{2} )} .$
特に $a_{0} = \frac{c}{π}$ であり、 $n ≧ 1$ について
$a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = \frac{c ^{2} ( 1 + n ^{2} )}{π ^{2} ( 1 + n ^{2} ) ^{2}} = \frac{c ^{2}}{π ^{2} ( 1 + n ^{2} )} .$

左辺.
$\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} e^{2 x} d x = \frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2 π} = \frac{( e ^{π} - e ^{- π} ) ( e ^{π} + e ^{- π} )}{2 π} = \frac{c d}{2 π},$
ここで $d = e^{π} + e^{- π}$ 。

パーセバルの等式. $S = n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + 1}$ とおくと
$\frac{c d}{2 π} = \frac{c ^{2}}{2 π ^{2}} + \frac{c ^{2}}{π ^{2}} S .$
両辺に $\frac{2 π ^{2}}{c ^{2}}$ を掛けると
$\frac{π d}{c} = 1 + 2 S より S = \frac{1}{2} (\frac{π d}{c} - 1) .$
$\frac{d}{c} = \frac{e ^{π} + e ^{- π}}{e ^{π} - e ^{- π}} = \frac{e ^{2 π} + 1}{e ^{2 π} - 1}$ なので
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + 1} = \frac{π}{2} \cdot \frac{e ^{2 π} + 1}{e ^{2 π} - 1} - \frac{1}{2} .$
（数値はおよそ $1.0767$ で、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \dots$ の部分和とも合う。）

別解

$\int e^{x} cos n x d x = \frac{e ^{x} ( c o s n x + n s i n n x )}{1 + n ^{2}}$ 、 $\int e^{x} sin n x d x = \frac{e ^{x} ( s i n n x - n c o s n x )}{1 + n ^{2}}$ を用いる。 $sin nπ = 0$ 、 $cos nπ = (- 1)^{n}$ より、 $c = \frac{e ^{π} - e ^{- π}}{π} = \frac{2 s i n h π}{π}$ として
$a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} c}{n ^{2} + 1} (n \geq 0), b_{n} = \frac{- n ( - 1 ) ^{n} c}{n ^{2} + 1} .$
よって $a_{0} = c$ 、 $a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = \frac{( 1 + n ^{2} ) c ^{2}}{( n ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{c ^{2}}{n ^{2} + 1}$ 。
左辺は $\frac{1}{π} \int_{- π}^{π} e^{2 x} d x = \frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2 π}$ 。パーセバルの等式より
$\frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2 π} = \frac{c ^{2}}{2} + c^{2} n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + 1} .$
$c^{2} = \frac{( e ^{π} - e ^{- π} ) ^{2}}{π ^{2}}$ で、 $e^{2 π} - e^{- 2 π} = (e^{π} - e^{- π}) (e^{π} + e^{- π})$ なので
$\frac{e ^{2 π} - e ^{- 2 π}}{2 π c ^{2}} = \frac{π ( e ^{π} + e ^{- π} )}{2 ( e ^{π} - e ^{- π} )} = \frac{π}{2} \cdot \frac{e ^{2 π} + 1}{e ^{2 π} - 1} .$
ゆえに
$n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{2} + 1} = \frac{1}{2} (π \frac{e ^{2 π} + 1}{e ^{2 π} - 1} - 1) = \frac{π coth π - 1}{2} .$
検算: $coth π \approx 1.003742$ より $(3.14159 \times 1.003742 - 1) /2 \approx 1.0768$ 。一方 $\sum 1/ (n^{2} + 1) = 0.5 + 0.2 + 0.1 + 0.0588 + 0.0385 + 0.027 + 0.02 + \dots \approx 1.077$ で一致する。

フーリエ解析・ラプラス変換の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題