フーリエ解析・ラプラス変換の問題

1. フーリエ係数の計算

$f(x)=|\sin x|$ は偶関数なので、$f(x)\sin nx$ は奇関数となり $b_n=0$ である。また
$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin x\cos nxdx.$$

$n=0$ のとき
$$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin xdx=\frac{2}{\pi }[-\cos x{]}_0^{\pi }=\frac{4}{\pi }.$$

$n=1$ のとき
$$a_1=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin x\cos xdx=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin 2xdx=0.$$

$n\ge 2$ のとき、積和の公式 $\sin x\cos nx=\frac{1}{2}\{\sin (n+1)x-\sin (n-1)x\}$ と、正の整数 $k$ に対する ${\int }_0^{\pi }\sin kxdx=\frac{1-(-1{)}^k}{k}$ を用いると
$$a_n=\frac{1}{\pi }\left\{\frac{1-(-1{)}^{n+1}}{n+1}-\frac{1-(-1{)}^{n-1}}{n-1}\right\}.$$
$n$ が奇数なら $(-1{)}^{n\pm 1}=1$ より $a_n=0$。$n$ が偶数なら
$$a_n=\frac{1}{\pi }\left(\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n-1}\right)=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{(n-1)-(n+1)}{n^2-1}=-\frac{4}{\pi (n^2-1)}.$$
したがって $n=2m(m=1,2,\dots )$ に対して
$$a_{2m}=-\frac{4}{\pi (4m^2-1)}.$$

2. パーセバルの等式の適用

左辺は
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{1}{\pi }\cdot \pi =1.$$
右辺は
$$\frac{a_0^2}{2}+\sum _{m=1}^{\infty }{a}_{2m}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{16}{{\pi }^2}+\frac{16}{{\pi }^2}\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}=\frac{8}{{\pi }^2}+\frac{16}{{\pi }^2}S.$$
よって
$$1=\frac{8}{{\pi }^2}+\frac{16}{{\pi }^2}S⟹S=\frac{{\pi }^2-8}{16}.$$

（検算：$\frac{1}{9}+\frac{1}{225}+\frac{1}{1225}+\frac{1}{3969}+\cdots \approx 0.1168$、$\frac{{\pi }^2-8}{16}\approx 0.1169$ でよく合う。）

答え：$S=\frac{{\pi }^2-8}{16}$

$f$ は偶関数なので $b_n=0$。

$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin xdx=\frac{4}{\pi }$。

$n\ge 1$ のとき、$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin x\cos nxdx=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\{\sin ((n+1)x)-\sin ((n-1)x)\}dx$。

$n=1$ では ${\int }_0^{\pi }\sin 2xdx=0$ なので $a_1=0$。

$n\ge 2$ では ${\int }_0^{\pi }\sin kxdx=\frac{1-\cos k\pi }{k}$ を用いて
$a_n=\frac{1}{\pi }\left[\frac{1-(-1{)}^{n+1}}{n+1}-\frac{1-(-1{)}^{n-1}}{n-1}\right]$。

$n$ が奇数のとき $(-1{)}^{n\pm 1}=1$ なので $a_n=0$。

$n=2m$ のとき $a_{2m}=\frac{2}{\pi }\left(\frac{1}{2m+1}-\frac{1}{2m-1}\right)=-\frac{4}{\pi (4m^2-1)}$。

これは $m=1$ でも成り立つ。

パーセバルの等式の左辺は $\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}xdx=1$。

右辺は $\frac{a_0^2}{2}+\sum a_{2m}^2=\frac{8}{{\pi }^2}+\frac{16}{{\pi }^2}S$。

よって $1=\frac{8}{{\pi }^2}+\frac{16}{{\pi }^2}S$ より $S=\frac{{\pi }^2-8}{16}$。

検算：$S$ の第 1 項は $1/9=0.1111$、第 2 項は $1/225=0.00444$、第 3 項は $1/1225=0.000816$、第 4 項は $1/3600=0.000278$ で、和は約 $0.1167$ に近づく。
一方 $({\pi }^2-8)/16=(9.8696-8)/16=0.11685$ であり、一致する。