ラプラス方程式

長方形・円板でのラプラス方程式の境界値問題を、変数分離（円板では極座標）で解ける

前提

変数分離法（大学院数学偏微分方程式）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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変数分離法（大学院数学偏微分方程式）
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部分積分（数学III 積分法）
フーリエ級数（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）

説明

有界な領域で $Δ u = u_{xx} + u_{y y} = 0$ を満たし、境界で値が指定された関数 $u$ を求める問題（ディリクレ問題）を、長方形と円板の場合に具体的な級数として解けるようになります。 $u$ は、熱が流れ終わった後の定常温度分布や静電ポテンシャルを表します。長方形では直交座標のまま、円板では極座標に直してから変数分離を行います。最後に、境界での値をフーリエ級数に展開して係数を決めます。

なぜそうしてよいのか

ラプラス方程式は線形なので、解を足し合わせたものもまた解になります。そこでまず $u = X (x) Y (y)$ の形の簡単な解をたくさん作り、それらを重ね合わせて境界条件に合わせます。長方形 $0 < x < a, 0 < y < b$ で $u = X Y$ を代入すると $X^{''} Y + X Y^{''} = 0$ となり、両辺を $X Y$ で割ると $\frac{X ^{''}}{X} = - \frac{Y ^{''}}{Y}$ です。左辺は $x$ だけ、右辺は $y$ だけの関数なので、両辺は共通の定数 $- λ$ に等しくなります。境界条件 $X (0) = X (a) = 0$ を課すと固有値問題 $X^{''} + λ X = 0$ になり、その解は $X_{n} = sin \frac{nπ x}{a}$ 、 $λ = (\frac{nπ}{a})^{2}$ $(n = 1, 2, \dots)$ です。このとき $Y^{''} = (\frac{nπ}{a})^{2} Y$ を解くと、 $Y$ は $cosh, sinh$ （ $cosh t = \frac{e ^{t} + e ^{- t}}{2}$ , $sinh t = \frac{e ^{t} - e ^{- t}}{2}$ ）の 1 次結合になります。

円板 $r < a$ では、連鎖律で $x = r cos θ, y = r sin θ$ と変数を変えると $Δ u = u_{r r} + \frac{1}{r} u_{r} + \frac{1}{r ^{2}} u_{θ θ}$ となります。ここに $u = R (r) Θ (θ)$ を代入して $r^{2} / (R Θ)$ を掛けると $\frac{r ^{2} R ^{''} + r R ^{'}}{R} = - \frac{Θ ^{''}}{Θ} = λ$ と分離できます。 $θ$ と $θ + 2 π$ は同じ点を表すので、 $Θ$ は $2 π$ 周期でなければなりません。このことから $λ = n^{2}$ $(n = 0, 1, 2, \dots)$ 、 $Θ = cos n θ, sin n θ$ が決まります。 $R$ の方程式 $r^{2} R^{''} + r R^{'} - n^{2} R = 0$ は、 $r = e^{t}$ とおくと連鎖律により $\frac{d ^{2} R}{d t ^{2}} = n^{2} R$ という定数係数の方程式になります。よって $R = r^{n}, r^{- n}$ （ $n = 0$ のときは $1, lo g r$ ）です。 $r^{- n}$ と $lo g r$ は原点で発散するので、円板の内部で有界な解としては $r^{n}$ だけが残ります。

こうして円板では $u = \frac{a _{0}}{2} + \sum_{n \geq 1} (\frac{r}{a})^{n} (a_{n} cos n θ + b_{n} sin n θ)$ が得られます。 $r = a$ とおくとこれは境界値 $f (θ)$ のフーリエ級数そのものなので、係数は $f$ のフーリエ係数になります。 $r < a$ では $(r / a)^{n}$ が急速に小さくなるので、級数は収束し、項ごとに微分してもかまいません。

手順

領域と境界条件を確認する。長方形で非斉次（ $0$ でない値）の辺が複数あれば、1 辺ずつ非斉次な問題に分けて解き、最後に足す。円板なら極座標の形 $u_{r r} + \frac{1}{r} u_{r} + \frac{1}{r ^{2}} u_{θ θ} = 0$ に直す。
斉次な条件のついた変数で固有値問題を解く。長方形（ $x = 0, a$ で $u = 0$ ）なら $X_{n} = sin \frac{nπ x}{a}$ $(n \geq 1)$ 。円板なら $2 π$ 周期性から $Θ = 1, cos n θ, sin n θ$ $(n \geq 1)$ 。
残りの変数の常微分方程式を解き、残った条件で解を絞る。長方形で $u (x, 0) = 0$ なら $Y_{n} = sinh \frac{nπ y}{a}$ 。円板では原点で有界であることから $R_{n} = r^{n}$ だけを残す。
重ね合わせて一般形をつくる。長方形なら $u = \sum_{n \geq 1} c_{n} sinh \frac{nπ y}{a} sin \frac{nπ x}{a}$ 、半径 $a$ の円板なら $u = \frac{a _{0}}{2} + \sum_{n \geq 1} (\frac{r}{a})^{n} (a_{n} cos n θ + b_{n} sin n θ)$ 。
非斉次な境界値をフーリエ級数に展開し、係数を比べて決める。長方形（ $u (x, b) = f (x)$ ）なら $c_{n} sinh \frac{nπ b}{a} = \frac{2}{a} \int_{0}^{a} f (x) sin \frac{nπ x}{a} d x$ 。円板なら $a_{n}, b_{n}$ は $f (θ)$ のフーリエ係数そのもの。

例題

単位円板 $D = {(r, θ) ∣ 0 \leq r < 1}$ （極座標）において、 $Δ u = 0$ を満たし、 $D$ で有界で、境界条件 $u (1, θ) = sin^{3} θ$ を満たす関数 $u$ を考える。 $u (\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1：円板なので、極座標の方程式 $u_{r r} + \frac{1}{r} u_{r} + \frac{1}{r ^{2}} u_{θ θ} = 0$ で考えます。

手順 2・3： $θ$ について $2 π$ 周期で、原点で有界な変数分離解は $1, r^{n} cos n θ, r^{n} sin n θ$ $(n \geq 1)$ です。

手順 4：重ね合わせると、一般形は $u = \frac{a _{0}}{2} + \sum_{n \geq 1} r^{n} (a_{n} cos n θ + b_{n} sin n θ)$ です（半径は $1$ ）。

手順 5：境界値をフーリエ級数に展開します。加法定理を使うと $sin 3 θ = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$ なので、
$sin^{3} θ = \frac{3}{4} sin θ - \frac{1}{4} sin 3 θ$
となります。これは有限項のフーリエ級数で、 $b_{1} = \frac{3}{4}, b_{3} = - \frac{1}{4}$ 、ほかの係数はすべて $0$ です。したがって
$u (r, θ) = \frac{3}{4} r sin θ - \frac{1}{4} r^{3} sin 3 θ$
です（直交座標で書くと $\frac{3}{4} y - \frac{1}{4} (3 x^{2} y - y^{3})$ で、確かに調和関数です）。

最後に $r = \frac{1}{2}, θ = \frac{π}{2}$ を代入します。 $sin \frac{π}{2} = 1$ 、 $sin \frac{3 π}{2} = - 1$ なので、
$u (\frac{1}{2}, \frac{π}{2}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} \cdot (- 1) = \frac{3}{8} + \frac{1}{32} = \frac{13}{32}$
となります。

答え: $\frac{13}{32}$

よくある誤り

境界値の式をそのまま $r$ 倍して、 $u = r^{3} sin^{3} θ$ などとしてしまう誤り。 $r^{3} sin^{3} θ = y^{3}$ は $Δ (y^{3}) = 6 y \neq = 0$ なので調和関数ではありません。正しくは、まず $sin^{3} θ = \frac{3}{4} sin θ - \frac{1}{4} sin 3 θ$ と $cos n θ, sin n θ$ に分解し、それぞれに $r^{n}$ を掛けます。
円板の内部の問題で、 $r^{- n} cos n θ$ や $lo g r$ の項を残してしまう誤り。これらは $r \to 0$ で発散するので、内部で有界な解には含められません。正しくは $R_{n} = r^{n}$ だけを使います（ $r^{- n}$ や $lo g r$ が許されるのは、原点を含まない円環領域や円の外部の問題です）。
半径 $a$ の円板で、境界 $r = a$ でも $r^{n}$ のまま係数を合わせてしまう誤り。そうすると $r = a$ で各項が $a^{n}$ 倍になってしまいます。正しくは $u = \frac{a _{0}}{2} + \sum (\frac{r}{a})^{n} (a_{n} cos n θ + b_{n} sin n θ)$ とします（あるいは $r^{n}$ の係数を $a_{n} / a^{n}$ にします）。
長方形の問題で、 $u = \sum c_{n} sinh \frac{nπ y}{a} sin \frac{nπ x}{a}$ の $c_{n}$ を $f$ のフーリエ正弦係数 $\frac{2}{a} \int_{0}^{a} f sin \frac{nπ x}{a} d x$ そのものにしてしまう誤り。 $y = b$ では各項に $sinh \frac{nπ b}{a}$ が掛かっています。正しくは $c_{n} = \frac{1}{sinh ( nπ b / a )} \cdot \frac{2}{a} \int_{0}^{a} f (x) sin \frac{nπ x}{a} d x$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

ラプラス方程式

前提

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なぜそうしてよいのか

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例題

よくある誤り

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