偏微分方程式の問題

鏡像法による $h_x$ の構成. $x\in B$, $x\ne 0$ とし、単位円に関する $x$ の鏡像点を $x^{\ast }=\frac{x}{|x{|}^2}$ とおく。$|x^{\ast }|=\frac{1}{|x|}>1$ なので $x^{\ast }\notin \overline{B}$ である。

$y\in \partial B$（すなわち $|y|=1$）のとき
$$|x{|}^2|y-x^{\ast }{|}^2=|x{|}^2\left(|y{|}^2-\frac{2x\cdot y}{|x{|}^2}+\frac{1}{|x{|}^2}\right)=|x{|}^2-2x\cdot y+1=|y-x{|}^2$$
となるので、$|y-x|=|x||y-x^{\ast }|$ が成り立つ。そこで
$$h_x(y)=-\frac{1}{2\pi }\log (|x||y-x^{\ast }|)$$
とおくと、$\log |y-x^{\ast }|$ は $y\ne x^{\ast }$ で調和であり、$x^{\ast }\notin \overline{B}$ だから $h_x$ は $B$ で調和、$\overline{B}$ で連続である。さらに $y\in \partial B$ では $h_x(y)=-\frac{1}{2\pi }\log |y-x|=\Phi (y-x)$ となり、境界条件もみたす。一意性からこれが求める $h_x$ である。したがって
$$G(x,y)=-\frac{1}{2\pi }\log |y-x|+\frac{1}{2\pi }\log (|x||y-x^{\ast }|)=\frac{1}{2\pi }\log \frac{|x||y-x^{\ast }|}{|y-x|}.$$

値の計算. $x_0=\left(\frac{1}{2},0\right)$ より $|x_0|=\frac{1}{2}$, $x_0^{\ast }=(2,0)$。$y_0=\left(0,\frac{1}{2}\right)$ なので
$$|y_0-x_0^{\ast }|=\sqrt{(-2{)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{17}}{2},|y_0-x_0|=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
よって
$$\frac{|x_0||y_0-x_0^{\ast }|}{|y_0-x_0|}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{34}}{4}=\sqrt{\frac{17}{8}}$$
であり、
$$G(x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi }\log \sqrt{\frac{17}{8}}=\frac{1}{4\pi }\log \frac{17}{8}.$$

（確認: 上の式を変形すると $G(x,y)=\frac{1}{4\pi }\log \frac{1-2x\cdot y+|x{|}^2|y{|}^2}{|x-y{|}^2}$ となる。$x_0\cdot y_0=0$, $|x_0{|}^2|y_0{|}^2=\frac{1}{16}$, $|x_0-y_0{|}^2=\frac{1}{2}$ を代入すると $\frac{17/16}{1/2}=\frac{17}{8}$ となり一致する。）

単位円板のグリーン関数は鏡像法で求まる。$x\ne 0$ に対し $x^{\ast }=x/|x{|}^2$ とおく。$|y|=1$ のとき $|y-x^{\ast }|=|y-x|/|x|$ が成り立つ（$|y-x^{\ast }{|}^2=1-2y\cdot x/|x{|}^2+1/|x{|}^2=|y-x{|}^2/|x{|}^2$）。

そこで $h_x(y)=\Phi (|x|(y-x^{\ast }))=-\frac{1}{2\pi }\log (|x||y-x^{\ast }|)$ とおく。$y\in B$ では $y\ne x^{\ast }$（$|x^{\ast }|>1$）なので $y$ について調和であり、境界上では $|x||y-x^{\ast }|=|y-x|$ より $h_x(y)=\Phi (y-x)$ をみたす。一意性から、これが求める $h_x$ である。

よって
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-h_x(y)=\frac{1}{2\pi }\log \frac{|x||y-x^{\ast }|}{|y-x|}.$$

$x_0=(1/2,0)$, $y_0=(0,1/2)$ のとき:
- $|x_0|=\frac{1}{2}$、$x_0^{\ast }=(2,0)$。
- $|y_0-x_0{|}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。
- $y_0-x_0^{\ast }=(-2,\frac{1}{2})$ なので $|y_0-x_0^{\ast }{|}^2=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$。よって $|x_0{|}^2|y_0-x_0^{\ast }{|}^2=\frac{17}{16}$。

$${\left(\frac{|x_0||y_0-x_0^{\ast }|}{|y_0-x_0|}\right)}^2=\frac{17/16}{1/2}=\frac{17}{8}.$$

ゆえに
$$G(x_0,y_0)=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{1}{2}\log \frac{17}{8}=\frac{1}{4\pi }\log \frac{17}{8}.$$

検算: $G$ は $x,y$ について対称で、$|x||y-x^{\ast }|=\sqrt{1-2x\cdot y+|x{|}^2|y{|}^2}$ と書ける。$x_0\cdot y_0=0$、$|x_0{|}^2|y_0{|}^2=\frac{1}{16}$ より $\sqrt{17/16}$ となり上の値と一致する。数値は約 $0.0597$ で正であり、グリーン関数の正値性とも整合する。