偏微分方程式の問題

一意性. 最大値原理により、$C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ に属するこのディリクレ問題の解はただ 1 つである（2 つの解の差は境界で $0$ の調和関数なので恒等的に $0$）。したがって、条件を満たす調和関数を 1 つ見つければそれが $u$ である。

極座標で書く. $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$ とする。境界条件は
$$u{|}_{r=1}=1,u{|}_{r=2}=1+\frac{3}{2}\cdot 2\cos \theta =1+3\cos \theta .$$
ラプラス方程式 $u_{rr}+\frac{1}{r}{u}_r+\frac{1}{r^2}{u}_{\theta \theta }=0$ の変数分離解のうち、境界データに現れる $\theta$ についての成分に対応するものは
$$a+b\log r(\text{定数成分}),\left(Ar+\frac{B}{r}\right)\cos \theta (\cos \theta \text{ 成分})$$
である。そこで $u=a+b\log r+\left(Ar+\frac{B}{r}\right)\cos \theta$ とおく。

係数の決定. 定数成分について、$r=1$ で $a=1$、$r=2$ で $a+b\log 2=1$ より $b=0$。
$\cos \theta$ 成分について、$r=1$ で $A+B=0$、$r=2$ で $2A+\frac{B}{2}=3$。$B=-A$ を代入して $\frac{3}{2}A=3$、よって $A=2$, $B=-2$。したがって
$$u=1+2\left(r-\frac{1}{r}\right)\cos \theta .$$
（直交座標では $u=1+2x-\frac{2x}{x^2+y^2}$ であり、$x$ も $x/(x^2+y^2)$ も $\Omega$ で調和なので確かに解である。）

値の計算. 点 $\left(\frac{3}{4},1\right)$ では $r^2=\frac{9}{16}+1=\frac{25}{16}$ より $r=\frac{5}{4}$ で、$1<r<2$ なので $\Omega$ 内の点である。$\cos \theta =\frac{3/4}{5/4}=\frac{3}{5}$。よって
$$u\left(\frac{3}{4},1\right)=1+2\left(\frac{5}{4}-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{3}{5}=1+2\cdot \frac{9}{20}\cdot \frac{3}{5}=1+\frac{27}{50}=\frac{77}{50}.$$

極座標 $(r,\theta )$ で考える。$v=u-1$ とおくと $\Delta v=0$、$r=1$ で $v=0$、$r=2$ で $v=\frac{3}{2}x=3\cos \theta$。\n\n境界値が $\cos \theta$ のみを含むので、$v=(Ar+B/r)\cos \theta$ の形の調和関数を探す（$r\cos \theta$ と $\cos \theta /r$ はともに調和）。\n\n$r=1$: $A+B=0$。$r=2$: $2A+\frac{B}{2}=3$。$B=-A$ を代入して $\frac{3}{2}A=3$、$A=2$、$B=-2$。\n\nよって $v=\left(2r-\frac{2}{r}\right)\cos \theta =2\left(1-\frac{1}{r^2}\right)x$、すなわち $u=1+2\left(1-\frac{1}{x^2+y^2}\right)x$。ディリクレ問題の解は最大値原理により一意なので、これが求める解。\n\n点 $\left(\frac{3}{4},1\right)$ では $x^2+y^2=\frac{9}{16}+1=\frac{25}{16}$、$1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$。$u=1+2\cdot \frac{9}{25}\cdot \frac{3}{4}=1+\frac{27}{50}=\frac{77}{50}$。\n\n検算: この点は $1<\frac{25}{16}<4$ で $\Omega$ 内。境界で $r=1$ のとき $u=1$、$r=2$ のとき $u=1+2\cdot \frac{3}{4}x=1+\frac{3}{2}x$ で条件を満たす。