偏微分方程式の問題

手順1（極座標に直す） $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ とおくと、ラプラス方程式は
$$u_{rr}+\frac{1}{r}{u}_r+\frac{1}{r^2}{u}_{\theta \theta }=0(0<r<2)$$
となる。

手順2（変数分離） $u=R(r)\Theta (\theta )$ とおいて代入し、両辺を $R\Theta /r^2$ で割ると
$$\frac{r^2{R}^{\prime \prime }+r{R}^{\prime }}{R}=-\frac{{\Theta }^{\prime \prime }}{\Theta }=\lambda (\text{定数})$$
となる。$\Theta$ は周期 $2\pi$ をもたなければならないので、$\lambda =n^2(n=0,1,2,\dots )$ であり、
$$\Theta =a\cos n\theta +b\sin n\theta$$
となる。$R$ はオイラー型方程式 $r^2{R}^{\prime \prime }+r{R}^{\prime }-n^{2}R=0$ を満たす。$R=r^k$ とおくと $k^2=n^2$ が得られる。よって、$n\ge 1$ では $R=r^n,r^{-n}$、$n=0$ では $R=1,\log r$ となる。原点で $u$ は有限（連続）でなければならないので、$r^{-n}$ と $\log r$ は除かれる。したがって
$$u(r,\theta )=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{r}^n\left(a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta \right).$$

手順3（境界条件で係数を決める） 半角の公式より
$$8{\sin }^2\theta =8\cdot \frac{1-\cos 2\theta }{2}=4-4\cos 2\theta .$$
$r=2$ で係数を比較すると $\frac{a_0}{2}=4$、$2^2{a}_2=-4$ より $a_2=-1$ となり、ほかの係数はすべて $0$ である。よって
$$u(r,\theta )=4-r^2\cos 2\theta (\text{直交座標では }u=4-x^2+y^2).$$
これは調和関数で境界条件を満たし、最大値原理によりディリクレ問題の解はただ一つである。

手順4（値を求める） 点 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ は $r=1,\theta =\frac{\pi }{6}$ にあたる。よって
$$u=4-1^2\cdot \cos \frac{\pi }{3}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}.$$
（検算：$4-\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{7}{2}$。）

境界値は $8{\sin }^2\theta =4-4\cos 2\theta$ である。極座標で $u=R(r)\Theta (\theta )$ と変数分離すると、$\Theta$ の周期性から $\Theta =\cos n\theta ,\sin n\theta$ ($n=0,1,2,\dots$)、$R$ は $r^2{R}^{\prime \prime }+r{R}^{\prime }-n^{2}R=0$ を満たす。有界な解は $R=r^n$ ($n\ge 1$)、$n=0$ のときは定数である。

よって $u=a_0+{\sum }_{n\ge 1}{r}^n(a_n\cos n\theta +b_n\sin n\theta )$ と書ける。$r=2$ で境界条件に合わせると、$a_0=4$、$2^2{a}_2=-4$ より $a_2=-1$、他の係数は $0$ である。

ゆえに $u=4-r^2\cos 2\theta =4-(x^2-y^2)$。

点 $(\sqrt{3}/2,1/2)$ では $x^2-y^2=3/4-1/4=1/2$ なので $u=4-1/2=7/2$。

検算: $u_{xx}+u_{yy}=-2+2=0$ で調和である。$r=2$ で $u=4-4\cos 2\theta =8{\sin }^2\theta$ となり、境界条件も満たす。