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偏微分方程式の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学偏微分方程式

$u = u (x, t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$u_{tt} = 4 u_{xx} (0 < x < π, t > 0),$
$u (0, t) = u (π, t) = 0 (t \geq 0),$
$u (x, 0) = 2 sin x, u_{t} (x, 0) = 6 sin 3 x (0 \leq x \leq π)$
を考える。 $u (x, t) = X (x) T (t)$ とおく変数分離法で得られる解 $u$ について、 $u (\frac{π}{2}, \frac{π}{8})$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

変数分離法（説明と入口の問題）
波動方程式（説明と入口の問題）
境界値問題と固有値（説明と入口の問題）
定数係数 2 階線形（斉次）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

変数分離法を使います。 $u = X (x) T (t)$ を代入し、 $x$ だけの部分と $t$ だけの部分に分けましょう。

ヒント 2

$\frac{X ^{''}}{X} = \frac{T ^{''}}{4 T} = - λ$ とおくと、 $X^{''} + λ X = 0, X (0) = X (π) = 0$ という固有値問題が現れます。固有値は $λ = n^{2}$ 、固有関数は $sin n x$ です。

ヒント 3

$T_{n} (t) = a_{n} cos 2 n t + b_{n} sin 2 n t$ となります。初期条件から $a_{1} = 2$ であり、 $u_{t} (x, 0)$ の係数 $2 n b_{n}$ を比べると $b_{3}$ が決まります。

答えと解説

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\frac{2}{2}

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解説を読む

手順 1：変数を分ける。 $u = X (x) T (t)$ を方程式に代入すると $X T^{''} = 4 X^{''} T$ である。両辺を $4 X T$ で割ると
$\frac{X ^{''}}{X} = \frac{T ^{''}}{4 T} .$
左辺は $x$ だけの関数、右辺は $t$ だけの関数なので、両辺は定数でなければならない。その定数を $- λ$ とおくと、
$X^{''} + λ X = 0, T^{''} + 4 λ T = 0$
の 2 つの常微分方程式に分かれる。

手順 2： $X$ の固有値問題を解く。 境界条件 $u (0, t) = u (π, t) = 0$ が恒等的に $0$ でない $T$ について成り立つには $X (0) = X (π) = 0$ が必要である。 $X^{''} + λ X = 0, X (0) = X (π) = 0$ が $0$ でない解をもつのは
$λ = n^{2} (n = 1, 2, 3, \dots), X_{n} (x) = sin n x$
のときである。

手順 3： $T$ を解く。 $λ = n^{2}$ のとき $T^{''} + 4 n^{2} T = 0$ であり、特性方程式 $r^{2} + 4 n^{2} = 0$ の解は $r = \pm 2 ni$ なので
$T_{n} (t) = a_{n} cos 2 n t + b_{n} sin 2 n t .$

手順 4：重ね合わせて初期条件に合わせる。
$u (x, t) = n \sum (a_{n} cos 2 n t + b_{n} sin 2 n t) sin n x$
とおく。 $t = 0$ を代入すると $u (x, 0) = \sum a_{n} sin n x = 2 sin x$ より $a_{1} = 2$ 、ほかの $a_{n} = 0$ である。
また $u_{t} (x, 0) = \sum 2 n b_{n} sin n x = 6 sin 3 x$ より、 $n = 3$ で $6 b_{3} = 6$ だから $b_{3} = 1$ 、ほかの $b_{n} = 0$ である。よって
$u (x, t) = 2 sin x cos 2 t + sin 3 x sin 6 t .$
（確認： $u_{tt} = - 8 sin x cos 2 t - 36 sin 3 x sin 6 t$ 、 $4 u_{xx} = - 8 sin x cos 2 t - 36 sin 3 x sin 6 t$ で一致する。境界条件と初期条件もみたす。）

手順 5：値を計算する。 $x = \frac{π}{2}, t = \frac{π}{8}$ を代入すると
$u (\frac{π}{2}, \frac{π}{8}) = 2 sin \frac{π}{2} cos \frac{π}{4} + sin \frac{3 π}{2} sin \frac{3 π}{4} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{2}{2} + (- 1) \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{2} .$

別解

変数分離により $X_{n} = sin n x$ 、 $T_{n} = a_{n} cos 2 n t + b_{n} sin 2 n t$ となるので $u = \sum_{n} (a_{n} cos 2 n t + b_{n} sin 2 n t) sin n x$ とおける。

初期条件 $u (x, 0) = 2 sin x$ より $a_{1} = 2$ 、他の $a_{n} = 0$ 。

$u_{t} (x, 0) = \sum 2 n b_{n} sin n x = 6 sin 3 x$ より $6 b_{3} = 6$ 、すなわち $b_{3} = 1$ 。他の $b_{n} = 0$ 。

よって $u (x, t) = 2 cos 2 t sin x + sin 6 t sin 3 x$ 。

$x = π /2$ 、 $t = π /8$ を代入する。
$sin (π /2) = 1$ 、 $cos (π /4) = \frac{2}{2}$ なので、第1項は $2 \cdot \frac{2}{2} \cdot 1 = 2$ 。
$sin (6 π /8) = sin (3 π /4) = \frac{2}{2}$ 、 $sin (3 π /2) = - 1$ なので、第2項は $- \frac{2}{2}$ 。

合計は $2 - \frac{2}{2} = \frac{2}{2}$ 。

検算： $u_{tt} = - 8 cos 2 t sin x - 36 sin 6 t sin 3 x$ 、 $4 u_{xx} = 4 (- 2 cos 2 t sin x - 9 sin 6 t sin 3 x)$ で一致する。 $u_{t} (x, 0) = 6 sin 3 x$ も成り立つ。

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