偏微分方程式の問題

手順 1：変数を分ける。 $u=X(x)T(t)$ とおいて方程式に代入すると $X(x)T^{\prime \prime }(t)=4X^{\prime \prime }(x)T(t)$ となる。両辺を $4X(x)T(t)$ で割ると
$$\frac{T^{\prime \prime }(t)}{4T(t)}=\frac{X^{\prime \prime }(x)}{X(x)}.$$
左辺は $t$ だけ、右辺は $x$ だけの関数なので、両辺は定数である。これを $-\lambda$ とおくと、2 つの常微分方程式
$$X^{\prime \prime }+\lambda X=0,T^{\prime \prime }+4\lambda T=0$$
に分かれる。

手順 2：境界条件から固有値問題を解く。 $u(0,t)=X(0)T(t)=0$, $u(\pi ,t)=X(\pi )T(t)=0$ がすべての $t$ で成り立ち、$T\not\equiv 0$ なので $X(0)=X(\pi )=0$ である。固有値問題
$$X^{\prime \prime }+\lambda X=0,X(0)=X(\pi )=0$$
が $0$ でない解をもつのは $\lambda =n^2(n=1,2,3,\dots )$ のときで、固有関数は $X_n(x)=\sin nx$ である。

手順 3：$T$ を求める。 $\lambda =n^2$ のとき $T^{\prime \prime }+4n^{2}T=0$ の特性方程式は $r^2+4n^2=0$、その解は $r=\pm 2ni$ だから
$$T_n(t)=a_n\cos 2nt+b_n\sin 2nt.$$
よって、重ね合わせた
$$u(x,t)=\sum _{n\ge 1}\left(a_n\cos 2nt+b_n\sin 2nt\right)\sin nx$$
は方程式と境界条件を満たす。

手順 4：初期条件で係数を決める。 $t=0$ とおくと $u(x,0)=\sum a_n\sin nx=\sin 3x$ なので、$a_3=1$、それ以外の $a_n=0$ である。また $u_t(x,0)=\sum 2n{b}_n\sin nx=0$ なので、すべての $b_n=0$ である。したがって
$$u(x,t)=\sin 3x\cos 6t.$$
(確認：$u_{tt}=-36\sin 3x\cos 6t$、$4u_{xx}=4\cdot (-9)\sin 3x\cos 6t=-36\sin 3x\cos 6t$ となり、方程式を満たす。境界条件と初期条件も満たす。)

手順 5：値を代入する。
$$u\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{18}\right)=\sin \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{3}=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

波動方程式 $u_{tt}=4u_{xx}$ で $c=2$。$u=X(x)T(t)$ とおき、境界条件 $X(0)=X(\pi )=0$ から固有関数 $X_n=\sin nx$（$n=1,2,\dots$）を得る。このとき $T^{\prime \prime }+4n^{2}T=0$ より $T=A\cos 2nt+B\sin 2nt$。
初期条件 $u_t(x,0)=0$ より $B=0$。$u(x,0)=\sin 3x$ より $n=3$ の項のみが残り、$u(x,t)=\sin 3x\cos 6t$。
確認: $u_{tt}=-36\sin 3x\cos 6t$、$4u_{xx}=4(-9)\sin 3x\cos 6t=-36\sin 3x\cos 6t$ で一致。$u(0,t)=u(\pi ,t)=0$、$u(x,0)=\sin 3x$、$u_t(x,0)=0$ も成立。
求める値は $x=\pi /6$, $t=\pi /18$ を代入して $\sin (\pi /2)\cos (\pi /3)=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。