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偏微分方程式の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学偏微分方程式

$u = u (x, t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$u_{t} = u_{xx} (0 < x < 2, t > 0),$
$u (0, t) = u (2, t) = 0 (t > 0), u (x, 0) = 4 sin^{3} \frac{π x}{2} (0 \leq x \leq 2)$
を考える。この問題の解 $u$ を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて求め、 $t > 0$ における中点での値 $u (1, t)$ を $t$ の式で表せ。

この問題で使うもの

有界区間の熱方程式（説明と入口の問題）
変数分離法（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「有界区間の熱方程式」を使います。 $u = X (x) T (t)$ と変数分離し、両端が $0$ の境界条件から固有関数を求め、その重ね合わせで初期値を表しましょう。

ヒント 2

固有関数は $sin \frac{nπ x}{2}$ 、時間の因子は $e^{- \frac{n ^{2} π ^{2} t}{4}}$ です。初期値は 3 倍角の公式 $4 sin^{3} θ = 3 sin θ - sin 3 θ$ で正弦の和に直せます。

ヒント 3

$4 sin^{3} \frac{π x}{2} = 3 sin \frac{π x}{2} - sin \frac{3 π x}{2}$ なので、 $u (x, t) = 3 e^{- \frac{π ^{2} t}{4}} sin \frac{π x}{2} - e^{- \frac{9 π ^{2} t}{4}} sin \frac{3 π x}{2}$ となります。あとは $x = 1$ を代入します。

答えと解説

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3 e^{- \frac{π ^{2} t}{4}} + e^{- \frac{9 π ^{2} t}{4}}

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解説を読む

手順 1（変数分離） $u = X (x) T (t)$ とおいて方程式に代入すると $X T^{'} = X^{''} T$ となる。両辺を $X T$ で割ると
$\frac{T ^{'}}{T} = \frac{X ^{''}}{X} = - λ (λ は定数)$
となる。よって $X^{''} + λ X = 0$ , $T^{'} = - λ T$ を得る。境界条件 $u (0, t) = u (2, t) = 0$ から $X (0) = X (2) = 0$ である。

手順 2（固有値問題） $X^{''} + λ X = 0$ , $X (0) = X (2) = 0$ が $0$ でない解をもつのは
$λ_{n} = (\frac{nπ}{2})^{2}, X_{n} (x) = sin \frac{nπ x}{2} (n = 1, 2, 3, \dots)$
のときである。このとき $T^{'} = - λ_{n} T$ を解くと $T_{n} (t) = e^{- \frac{n ^{2} π ^{2} t}{4}}$ となる。

手順 3（重ね合わせ） 方程式も境界条件も線形なので、解を
$u (x, t) = n = 1 \sum \infty b_{n} e^{- \frac{n ^{2} π ^{2} t}{4}} sin \frac{nπ x}{2}$
の形で探す。 $t = 0$ とおくと、 $b_{n}$ は初期値 $4 sin^{3} \frac{π x}{2}$ のフーリエ正弦級数の係数でなければならない。

手順 4（初期値の正弦級数展開） 3 倍角の公式 $sin 3 θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$ を使うと $4 sin^{3} θ = 3 sin θ - sin 3 θ$ となる。 $θ = \frac{π x}{2}$ とおけば
$4 sin^{3} \frac{π x}{2} = 3 sin \frac{π x}{2} - sin \frac{3 π x}{2}$
である。これはすでに正弦級数の形なので、積分しなくても係数は $b_{1} = 3$ , $b_{3} = - 1$ 、それ以外の $n$ では $b_{n} = 0$ と分かる。したがって
$u (x, t) = 3 e^{- \frac{π ^{2} t}{4}} sin \frac{π x}{2} - e^{- \frac{9 π ^{2} t}{4}} sin \frac{3 π x}{2}$
となる。この関数が方程式・境界条件・初期条件をすべて満たすことは、直接代入して確かめられる。

手順 5（中点での値） $x = 1$ を代入する。 $sin \frac{π}{2} = 1$ , $sin \frac{3 π}{2} = - 1$ なので
$u (1, t) = 3 e^{- \frac{π ^{2} t}{4}} + e^{- \frac{9 π ^{2} t}{4}}$
である。

別解

境界条件より、固有関数は $sin \frac{nπ x}{2}$ 、固有値は $(nπ /2)^{2}$ である。したがって $u = \sum_{n \geq 1} b_{n} e^{- n^{2} π^{2} t /4} sin \frac{nπ x}{2}$ とおける。

初期条件について、 $sin^{3} θ = \frac{3 s i n θ - s i n 3 θ}{4}$ より
$4 sin^{3} \frac{π x}{2} = 3 sin \frac{π x}{2} - sin \frac{3 π x}{2}$ 。
これはすでにフーリエ正弦級数の形なので、 $b_{1} = 3, b_{3} = - 1$ 、他の $b_{n} = 0$ である（正弦級数の展開の一意性による）。

よって
$u (x, t) = 3 e^{- π^{2} t /4} sin \frac{π x}{2} - e^{- 9 π^{2} t /4} sin \frac{3 π x}{2}$ 。

$x = 1$ では $sin \frac{π}{2} = 1$ 、 $sin \frac{3 π}{2} = - 1$ なので
$u (1, t) = 3 e^{- π^{2} t /4} + e^{- 9 π^{2} t /4}$ 。

検算： $t = 0$ で $3 + 1 = 4 = 4 sin^{3} \frac{π}{2}$ となり、初期条件と一致する。また $x = 0, 2$ で $u = 0$ であり、各項が熱方程式を満たす。

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