偏微分方程式の問題

手順 1：変数を分ける。 $u=X(x)T(t)$ を $u_{tt}=9u_{xx}$ に代入すると $X(x)T^{\prime \prime }(t)=9X^{\prime \prime }(x)T(t)$ となる。両辺を $9X(x)T(t)$ で割ると
$$\frac{T^{\prime \prime }(t)}{9T(t)}=\frac{X^{\prime \prime }(x)}{X(x)}.$$
左辺は $t$ だけ、右辺は $x$ だけの関数なので、両辺は定数である。これを $-\lambda$ とおくと
$$X^{\prime \prime }+\lambda X=0,T^{\prime \prime }+9\lambda T=0.$$

手順 2：$X$ の固有値問題を解く。 境界条件 $u(0,t)=u(\pi ,t)=0$ がすべての $t$ で成り立ち、$T\not\equiv 0$ とすると $X(0)=X(\pi )=0$。境界値問題 $X^{\prime \prime }+\lambda X=0,X(0)=X(\pi )=0$ が $0$ でない解をもつのは
$$\lambda =n^2(n=1,2,3,\dots ),X_n(x)=\sin nx$$
のときである。

手順 3：$T$ を求める。 $\lambda =n^2$ のとき $T^{\prime \prime }+9n^{2}T=0$ で、特性方程式 $r^2+9n^2=0$ の解は $r=\pm 3ni$。よって $T_n(t)=A_n\cos 3nt+B_n\sin 3nt$。

手順 4：重ね合わせと初期条件。 解を $u(x,t)={\sum }_{n\ge 1}(A_n\cos 3nt+B_n\sin 3nt)\sin nx$ の形で探す。
- $u(x,0)=\sum A_n\sin nx=\sin 2x$ より $A_2=1$、それ以外の $A_n=0$。
- $u_t(x,0)=\sum 3n{B}_n\sin nx=0$ より すべての $B_n=0$。

したがって
$$u(x,t)=\sin 2x\cos 6t.$$
(確認：$u_{tt}=-36\sin 2x\cos 6t$、$9u_{xx}=9\cdot (-4)\sin 2x\cos 6t=-36\sin 2x\cos 6t$ で方程式を満たし、境界条件・初期条件も満たす。)

手順 5：値を代入する。
$$u\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{18}\right)=\sin \frac{\pi }{2}\cdot \cos \frac{\pi }{3}=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$

変数分離 $u=X(x)T(t)$ により、境界条件 $X(0)=X(\pi )=0$ から固有値は $X_n=\sin nx$（$n=1,2,\dots$）。このとき $T^{\prime \prime }=-9n^{2}T$ なので $T=a\cos 3nt+b\sin 3nt$。

初期条件 $u_t(x,0)=0$ より $b=0$。$u(x,0)=\sin 2x$ より、$\sin nx$ の係数を比べて $n=2$ の項のみが残り、$u(x,t)=\sin 2x\cos 6t$。

確認: $u_{tt}=-36\sin 2x\cos 6t$、$u_{xx}=-4\sin 2x\cos 6t$ より $u_{tt}=9u_{xx}$ が成り立つ。$u(0,t)=0$、$u(\pi ,t)=\sin 2\pi \cos 6t=0$、$u(x,0)=\sin 2x$、$u_t(x,0)=-6\sin 2x\sin 0=0$。

値の計算: $x=\pi /4$ のとき $\sin (\pi /2)=1$。$t=\pi /18$ のとき $6t=\pi /3$ なので $\cos (\pi /3)=1/2$。よって $u=1/2$。

一意性は、$\sin nx$ によるフーリエ正弦展開の一意性から従う。