偏微分方程式の問題

与えられた問題は、未知関数 $u$ の偏導関数の最高階数が $2$（$u_{xx}$）なので $2$ 階の偏微分方程式であり、$u$ とその偏導関数について $1$ 次式なので線形です。条件は、方程式 $u_t=3u_{xx}$、境界条件 $u(0,t)=u(\pi ,t)=0$、初期条件 $u(x,0)=5\sin 2x$ の $3$ つです。$u$ が解であるとは、これらをすべて満たすことなので、順に確かめます。

初期条件 $t=0$ を代入すると $u(x,0)=A{e}^0\sin 2x=A\sin 2x$ です。これが $5\sin 2x$ とすべての $x$ で一致するので（例えば $x=\frac{\pi }{4}$ を代入すると $A=5$）、$A=5$ です。

方程式 偏導関数を計算します。
$$u_t=kA{e}^{kt}\sin 2x,$$
$$u_x=2A{e}^{kt}\cos 2x,u_{xx}=-4A{e}^{kt}\sin 2x.$$
よって $u_t=3u_{xx}$ は
$$kA{e}^{kt}\sin 2x=-12A{e}^{kt}\sin 2x$$
となります。$A=5\ne 0$、$e^{kt}>0$ であり、$\sin 2x$ は $0<x<\pi$ で恒等的に $0$ ではない（例えば $x=\frac{\pi }{4}$ で $1$）ので、両辺を比べて $k=-12$ です。

境界条件 $\sin 0=0$、$\sin 2\pi =0$ より、$u(0,t)=u(\pi ,t)=0$ は $A,k$ の値によらず成り立ちます。

以上より、$u(x,t)=5e^{-12t}\sin 2x$ がすべての条件を満たし、求める組は $(A,k)=(5,-12)$ です。

$u=A{e}^{kt}\sin 2x$ とおくと、$u_t=kA{e}^{kt}\sin 2x$、$u_{xx}=-4A{e}^{kt}\sin 2x$ である。
熱方程式 $u_t=3u_{xx}$ に代入すると $kA{e}^{kt}\sin 2x=-12A{e}^{kt}\sin 2x$ となる。
初期条件 $u(x,0)=A\sin 2x=5\sin 2x$ より $A=5$ である。したがって $A\ne 0$ なので、$k=-12$ となる。
境界条件は $\sin 0=0$、$\sin 2\pi =0$ より $u(0,t)=u(\pi ,t)=0$ を満たす。
検算：$u=5e^{-12t}\sin 2x$ のとき、$u_t=-60e^{-12t}\sin 2x$、$3u_{xx}=3\cdot (-20)e^{-12t}\sin 2x=-60e^{-12t}\sin 2x$ となり、一致する。
よって $(A,k)=(5,-12)$ である。