偏微分方程式の問題

与えられた関数が解であることを確かめるには、まず初期条件に代入し、次に偏導関数を計算して方程式に代入します。

手順 1：初期条件を確かめる。
$t=0$ を代入すると $e^0=1$ より
$$u(x,0)=A\sin 3x.$$
これがすべての実数 $x$ で $5\sin 3x$ に等しいので、たとえば $x=\frac{\pi }{6}$（$\sin \frac{\pi }{2}=1$）を代入して $A=5$ です。

手順 2：偏導関数を計算する。
$t$ について偏微分すると（$x$ は定数とみなす）
$$u_t=-kA{e}^{-kt}\sin 3x.$$
$x$ について 2 回偏微分すると（$t$ は定数とみなす）
$$u_x=3A{e}^{-kt}\cos 3x,u_{xx}=-9A{e}^{-kt}\sin 3x.$$

手順 3：方程式に代入する。
$u_t=2u_{xx}$ に代入すると
$$-kA{e}^{-kt}\sin 3x=-18A{e}^{-kt}\sin 3x.$$
これがすべての $x,t$ で成り立つ必要があります。$x=\frac{\pi }{6},t=0$ を代入すると $-kA=-18A$ です。$A=5\ne 0$ なので $k=18$ となります。

逆に $A=5,k=18$ のとき、両辺はともに $-90e^{-18t}\sin 3x$ となり、方程式と初期条件の両方を満たします。

したがって $(A,k)=(5,18)$ です。

$u=A{e}^{-kt}\sin 3x$ より $u_t=-kA{e}^{-kt}\sin 3x$、$u_{xx}=-9A{e}^{-kt}\sin 3x$ である。$u_t=2u_{xx}$ に代入すると $-kA{e}^{-kt}\sin 3x=-18A{e}^{-kt}\sin 3x$ となり、これが任意の $x,t$ で成り立つ。初期条件 $u(x,0)=A\sin 3x=5\sin 3x$ が任意の $x$ で成り立つので $A=5$。$A=5\ne 0$ なので、上の式から $k=18$。検算：$u=5e^{-18t}\sin 3x$ のとき $u_t=-90e^{-18t}\sin 3x$、$2u_{xx}=2\cdot (-45)e^{-18t}\sin 3x=-90e^{-18t}\sin 3x$ で一致する。$u(x,0)=5\sin 3x$ も満たす。よって $(A,k)=(5,18)$。