偏微分方程式の問題

実数 $x$ と実数 $t$ に対して定義された $C^1$ 級の関数 $u(x,t)$ が、偏微分方程式
$$u_t+2u_x=0(x\in \mathbb{R},t\in \mathbb{R})$$
と初期条件
$$u(x,0)=x^2+1(x\in \mathbb{R})$$
を満たすとする。$u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

$A,k$ を実数の定数とし、実数 $x$ と $t\geqq 0$ に対して
$$u(x,t)=A{e}^{-kt}\sin 3x$$
とおく。この関数 $u$ が、熱方程式（2 階線形偏微分方程式）
$$u_t=2u_{xx}$$
と初期条件
$$u(x,0)=5\sin 3x(x\text{ は任意の実数})$$
をともに満たすとき、$A,k$ の値を組 $(A,k)$ の形でこの順に求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+(\cos t)u_x=t((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
を考える。この初期値問題の解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

$u=u(x,t)$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級関数で、次の偏微分方程式と初期条件を満たすとする。
$$u_t+2u_x=0(x\in \mathbb{R},t\in \mathbb{R}),u(x,0)=x^2+1(x\in \mathbb{R}).$$
変数変換 $\xi =x-2t,\tau =t$ を用いて、$u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

$u=u(x,t)$ を $x\in \mathbb{R}$, $t\ge 0$ で定義された $C^1$ 級の関数とする。1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+t{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
の解 $u(x,t)$ を、特性曲線の方法を用いて $x,t$ の式で求めよ。