偏微分方程式

${\mathbb{R}}^2$ 上の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題 $$u_t+x{u}_x=0((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$ の $C^1$ 級の解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ を $x\in \mathbb{R}$, $t\ge 0$ で定義された $C^1$ 級の関数とする。1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+t{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
の解 $u(x,t)$ を、特性曲線の方法を用いて $x,t$ の式で求めよ。

実数全体で定義された $2$ 変数関数 $u(x,t)$ に対する偏微分方程式
$$u_t=2u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0)$$
と初期条件
$$u(x,0)=x^3(x\in \mathbb{R})$$
を考える。ここで $u_t=\frac{\partial u}{\partial t}$, $u_{xx}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$ である。$k$ を実数の定数として、関数
$$u(x,t)=x^3+kxt$$
がこの偏微分方程式と初期条件をともに満たすような $k$ の値を求めよ。

$A,k$ を実数の定数とし、実数 $x$ と $t\geqq 0$ に対して
$$u(x,t)=A{e}^{-kt}\sin 3x$$
とおく。この関数 $u$ が、熱方程式（2 階線形偏微分方程式）
$$u_t=2u_{xx}$$
と初期条件
$$u(x,0)=5\sin 3x(x\text{ は任意の実数})$$
をともに満たすとき、$A,k$ の値を組 $(A,k)$ の形でこの順に求めよ。

$A,k$ を実数の定数とし、
$$u(x,t)=A{e}^{kt}\sin 2x$$
とおく。この関数が次の熱方程式の初期値・境界値問題の解になるとき、組 $(A,k)$ を求めよ。
$$u_t=3u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),u(x,0)=5\sin 2x(0\le x\le \pi ).$$

実数 $x$ と実数 $t$ に対して定義された $C^1$ 級の関数 $u(x,t)$ が、偏微分方程式
$$u_t+2u_x=0(x\in \mathbb{R},t\in \mathbb{R})$$
と初期条件
$$u(x,0)=x^2+1(x\in \mathbb{R})$$
を満たすとする。$u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

$u=u(x,t)$ は ${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級関数で、次の偏微分方程式と初期条件を満たすとする。
$$u_t+2u_x=0(x\in \mathbb{R},t\in \mathbb{R}),u(x,0)=x^2+1(x\in \mathbb{R}).$$
変数変換 $\xi =x-2t,\tau =t$ を用いて、$u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

$x$ を実数、$t$ を実数とします。${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級関数 $u(x,t)$ が、次の偏微分方程式と初期条件を満たすとします。
$$u_t+2u_x=0,u(x,0)=x^2+1$$
このとき $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めてください。

${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+(\cos t)u_x=t((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
を考える。この初期値問題の解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+2x{u}_x=t((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
の解 $u(x,t)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+3t^2{u}_x=2tu((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。特性曲線の方法を用いて、解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),u(x,0)=\sin 2x,u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u=X(x)T(t)$ とおく変数分離法によってこの問題の解を求め、$u\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{18}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=4u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=\sin 3x,u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。この問題の滑らかな解はただ一つであることが知られている。$u=X(x)T(t)$ とおく変数分離法によって解 $u(x,t)$ を求め、$u\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{18}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=4u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=2\sin x,u_t(x,0)=6\sin 3x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u(x,t)=X(x)T(t)$ とおく変数分離法で得られる解 $u$ について、$u\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{8}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=x(1-x)(0\le x\le 1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によってこの問題の解 $u$ を求め、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<2,t>0),$$
$$u(0,t)=u(2,t)=0(t>0),u(x,0)=4{\sin }^3\frac{\pi x}{2}(0\le x\le 2)$$
を考える。この問題の解 $u$ を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて求め、$t>0$ における中点での値 $u(1,t)$ を $t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=1(0<x<1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によって得られる解 $u$ について、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=x^2,u_t(x,0)=\cos x(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u(x,t)$ を求めよ。答えは $x$, $t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=x^2,u_t(x,0)=\cos x(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u(x,t)$ を、ダランベールの公式を用いて求めよ。答えは $x,t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=x^2,u_t(x,0)=\cos x(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u(x,t)$ を求めよ。

平面の円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<4\}$ において、$u\in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ がディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(2\cos \theta ,2\sin \theta )=8{\sin }^2\theta (0\le \theta <2\pi )$$
を満たすとする。極座標による変数分離を用いて $u$ を求め、点 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ における値 $u\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ を求めよ。

平面の円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<4\}$ において、関数 $u\in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ がディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(2\cos \theta ,2\sin \theta )={\sin }^3\theta (0\le \theta <2\pi )$$
を満たすとする。極座標による変数分離を用いて $u$ を求め、点 $(0,1)$ における値 $u(0,1)$ を求めよ。

平面の円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<4\}$ において、ラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(2\cos \theta ,2\sin \theta )=8{\sin }^2\theta +4\cos \theta (0\le \theta <2\pi )$$
を考える。ここで $u$ は直交座標 $(x,y)$ の関数 $u(x,y)$ であり、$u\in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ とする（この条件のもとで解はただ 1 つに定まる）。極座標を用いた変数分離によってこの解 $u$ を求め、直交座標で $(x,y)=\left(1,\frac{1}{2}\right)$ と表される点における値 $u\left(1,\frac{1}{2}\right)$ を求めよ。

実数 $x$ と $t\ge 0$ に対して、関数 $u(x,t)$ についての熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$x$ についてのフーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$ と定める。フーリエ変換を用いて、この初期値問題の有界な解 $u(x,t)$（$t>0$）を $x,t$ の式で求めよ。

実数全体 $\mathbb{R}$ 上の熱方程式の初期値問題
$$u_t=u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$u$ は $\mathbb{R}\times [0,\infty )$ で連続かつ有界で、$t>0$ では $C^2$ 級の解とする。フーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。フーリエ変換を用いて、解 $u(x,t)$（$t>0$）を $x,t$ の式で求めよ。

実数 $x$ と $t\ge 0$ に対して定義された関数 $u(x,t)$ についての熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$u$ は各 $t\ge 0$ で $x$ について急減少する（フーリエ変換が使える）滑らかな解とする。フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$ で定め、フーリエ変換を用いて解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

実数 $x$ と $t>0$ に対して、関数 $u(x,t)$ に関する熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。熱核
$$G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{e}^{-\frac{x^2}{4t}}$$
との畳み込み $u(x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(x-y,t)e^{-y^2}dy$ で与えられる解（有界な解）を、$x$ と $t$ の式で求めよ。

実数 $x$ と $t>0$ に対して、関数 $u(x,t)$ は熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
の有界な解とする。フーリエ変換を用いて、$u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

ただし、フーリエ変換とその逆変換は次で定める。
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$$
また、$a>0$ に対して ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}{e}^{-ix\xi }dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{-{\xi }^2/(4a)}$ が成り立つことは用いてよい。

$x\in \mathbb{R}$, $t>0$ における熱方程式の初期値問題
$$u_t=u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$u$ は $\mathbb{R}\times [0,\infty )$ で連続かつ有界な古典解とする。フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$、逆変換を $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$ と定める。フーリエ変換を用いて解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の未知関数 $u=u(x,y)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_x+2x{u}_y=2u((x,y)\in {\mathbb{R}}^2),u(0,y)=y^2+1(y\in \mathbb{R})$$
を考える。この問題の ${\mathbb{R}}^2$ 全体で定義された $C^1$ 級の解 $u(x,y)$ を、特性曲線の方法を用いて $x,y$ の式で求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=4u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=\frac{1}{1+x^2},u_t(x,0)=x{e}^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u$ について、$u\left(1,\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する非粘性バーガース方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=0(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=\frac{1}{1+x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$T>0$ に対し、$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上で $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T$ の上限を $T^{\ast }$ とする。$T^{\ast }$ を求めよ。

上半平面 $H=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:y>0\}$ におけるラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in H),u(x,0)=g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|<1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
を考える。$u$ は $H$ で有界な調和関数で、$x\ne \pm 1$ である境界点 $(x,0)$ において連続に境界値 $g(x)$ をとるものとする（このような解はただ 1 つである）。$H$ のディリクレ境界条件に対するグリーン関数（鏡像法で得られるもの）から導かれるポアソン核を用いて、$u(1,1)$ の値を求めよ。

平面の円環領域 $\Omega =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 1<x^2+y^2<4\}$ において、$u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ がディリクレ問題
$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0(\text{in }\Omega ),$$
$$u(x,y)=1(x^2+y^2=1),u(x,y)=1+\frac{3}{2}x(x^2+y^2=4)$$
を満たすとする。このとき $u\left(\frac{3}{4},1\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対するノイマン境界条件付きの熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
の解を、変数分離法により余弦フーリエ級数で表されるものとする。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }\left(u(0,t)-\frac{\pi }{2}\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

領域 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x>0\}$ 上の未知関数 $u=u(x,y)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$x{u}_x+2y{u}_y=u+x^2((x,y)\in D),u(1,y)=y(y\in \mathbb{R})$$
を考える。この問題の $D$ 上の $C^1$ 級の解 $u$ について、$u(2,12)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する両端固定の弦の波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)={\sin }^{3}x,u_t(x,0)=\sin 2x(0\le x\le \pi )$$
の解 $u\in C^2([0,\pi ]\times [0,\infty ))$ について、$u\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の開単位円板を $B=\{x\in {\mathbb{R}}^2\mid |x|<1\}$ とし（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (x)=-\frac{1}{2\pi }\log |x|(x\ne 0)$$
とする。$x\in B$ に対し、関数 $h_x\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$${\Delta }_y{h}_x(y)=0(y\in B),h_x(y)=\Phi (y-x)(y\in \partial B)$$
をみたすもの（最大値原理により一意に定まる）とし、$B$ における $-\Delta$ のディリクレ境界条件のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-h_x(y)(x,y\in B,x\ne y)$$
で定める。$x_0=\left(\frac{1}{2},0\right)$, $y_0=\left(0,\frac{1}{2}\right)$ のとき、$G(x_0,y_0)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する半線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+x{u}_x=u^2(x\in \mathbb{R},0<t<1),u(x,0)=\frac{1}{1+x^2}(x\in \mathbb{R})$$
は $\mathbb{R}\times [0,1)$ 上でただ 1 つの $C^1$ 級の解 $u$ をもつ。特性曲線の方法でこの解を求め、$u\left(e,\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。ただし $e$ は自然対数の底である。

${\mathbb{R}}^3$ の上半空間を ${\mathbb{R}}_{+}^3=\{y=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid y_3>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=\frac{1}{4\pi |z|}(z\in {\mathbb{R}}^3,z\ne 0)$$
とする（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。$x=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}_{+}^3$ に対し $x^{\ast }=(x_1,x_2,-x_3)$ とおき、鏡像法による ${\mathbb{R}}_{+}^3$ のディリクレ問題のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-\Phi (y-x^{\ast })(x,y\in \overline{{\mathbb{R}}_{+}^3},x\ne y)$$
で定める。さらに $y^{\prime }=(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$ に対し
$$K(x,y^{\prime })=\frac{\partial G}{\partial y_3}(x,y){|}_{y=(y_1,y_2,0)}$$
とおく。$x_0=(0,0,1)$ のとき、積分
$${\int }_{\{y^{\prime }\in {\mathbb{R}}^2:|y^{\prime }|<1\}}K(x_0,y^{\prime })d{y}^{\prime }$$
の値を求めよ。

長方形領域 $R=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 0<x<\pi ,0<y<1\}$ におけるラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in R),$$
$$u(0,y)=u(\pi ,y)=0(0\le y\le 1),u(x,0)=0,u(x,1)=\sin x+\sin 3x(0\le x\le \pi )$$
の解 $u\in C^2(R)\cap C(\overline{R})$ はただ 1 つ存在する。変数分離法によりこの解を求め、$u\left(\frac{\pi }{2},\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

$u$ を ${\mathbb{R}}^2$ 上の実数値 $C^1$ 級関数とし、
$$x{u}_x(x,y)+y{u}_y(x,y)=u(x,y)((x,y)\in {\mathbb{R}}^2)$$
をみたすとする。このとき、$a=u_x(0,0)$, $b=u_y(0,0)$ とおくと、すべての $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ について
$$u(x,y)=ax+by$$
が成り立つことを示せ。

$[0,1]\times [0,1]$ 上の関数 $G$ を
$$G(x,y)=\{\begin{array}{ll}x(1-y)& (0\le x\le y\le 1)\\ y(1-x)& (0\le y\le x\le 1)\end{array}$$
で定める（これは境界値問題 $-u^{\prime \prime }=f$, $u(0)=u(1)=0$ のグリーン関数である）。$u$ を $[0,1]$ 上の実数値 $C^2$ 級関数で $u(0)=u(1)=0$ をみたすものとする。このとき、すべての $x\in [0,1]$ について
$$u(x)=-{\int }_0^{1}G(x,y)u^{\prime \prime }(y)dy$$
が成り立つことを用いて、
$$\underset{0\le x\le 1}{\max }|u(x)|\le \frac{1}{8}\underset{0\le x\le 1}{\max }|u^{\prime \prime }(x)|$$
が成り立つことを示せ。ただし、上の積分表示も証明の中で示すこと。

平面の第1象限を $Q=\{(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2\mid y_1>0,y_2>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=-\frac{1}{2\pi }\log |z|(z\in {\mathbb{R}}^2,z\ne 0)$$
とする。$x\in Q$ を固定したとき、関数 $G(x,\cdot )$ は次の 3 条件をみたすものとする。

• $(1)$ $G(x,y)=\Phi (y-x)-h^x(y)$ と書ける。ここで $h^x$ は $Q$ で調和で $\overline{Q}$ 上連続である。
• $(2)$ $y\in \partial Q$ のとき $G(x,y)=0$ である。
• $(3)$ $|y|\to \infty$ のとき $G(x,y)\to 0$ である。

この条件をみたす $G$（$Q$ におけるディリクレ問題のグリーン関数）について、$x=(1,2)$, $y=(2,1)$ のときの値 $G(x,y)$ を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式のノイマン境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は、変数分離とフーリエ余弦級数によって得られる解とする。このとき
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }{\left(u(x,t)-\frac{\pi }{2}\right)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=-3\tanh x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上でこの初期値問題の $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T>0$ の上限を $T^{\ast }$ とする。特性曲線の方法を用いて $T^{\ast }$ を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=2u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(\pi -x)(0\le x\le \pi )$$
を考える。この問題の解を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて $u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{e}^{-2n^{2}t}\sin nx$ の形で求めたうえで、
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t)dxdt$$
の値を求めよ。ただし、必要なら $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}=\frac{{\pi }^6}{945}$ を用いてよい。

平面の円環領域 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:1<x^2+y^2<4\}$ において、ディリクレ問題
$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(x,y)=x^2(x^2+y^2=1),u(x,y)=0(x^2+y^2=4)$$
を考える。$u$ は $D$ で $C^2$ 級、$\overline{D}$ で連続な解とする（このような解はただ 1 つである）。このとき $u(\sqrt{2},0)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=-3\arctan x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。特性曲線の方法により、この問題は十分小さい $T>0$ に対して $\mathbb{R}\times [0,T)$ 上で $C^1$ 級の解（古典解）をただ 1 つもつ。
$$T^{\ast }=\sup \{T>0\mid \mathbb{R}\times [0,T)\text{ 上で }{C}^1\text{ 級の解が存在する}\}$$
とおくとき、$T^{\ast }$ を求めよ。ただし $T^{\ast }=\infty$ となる場合は $\infty$ と答えよ。

${\mathbb{R}}^3$ の開単位球を $B=\{x\in {\mathbb{R}}^3\mid |x|<1\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (x)=\frac{1}{4\pi |x|}(x\ne 0)$$
とする。各 $y\in B$ に対して、$h^y\in C^2(B)\cap C(\overline{B})$ を
$$\Delta h^y=0(\text{in }B),h^y(x)=\Phi (x-y)(x\in \partial B)$$
を満たす関数とし、$B$ におけるディリクレ問題のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (x-y)-h^y(x)(x,y\in B,x\ne y)$$
で定める。$x_0=\left(0,0,\frac{1}{3}\right)$, $y_0=\left(0,0,-\frac{1}{2}\right)$ のとき、$G(x_0,y_0)$ の値を求めよ。

$k>0$ を定数とし、${\mathbb{R}}^3\setminus \{0\}$ 上の関数 $\Phi$ を
$$\Phi (x)=\frac{e^{-k|x|}}{4\pi |x|}(x\ne 0)$$
で定める。ここで $|x|$ はユークリッドノルム、$\Delta ={\sum }_{i=1}^3{\partial }^2/\partial x_i^2$ はラプラシアンである。$\Phi$ が作用素 $-\Delta +k^2$ の基本解であること、すなわち、${\mathbb{R}}^3$ 上の台がコンパクトな任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して、積分 ${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx$ が（ルベーグ積分として）絶対収束し、
$${\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x)(-\Delta \phi (x)+k^2\phi (x))dx=\phi (0)$$
が成り立つことを示せ。ただし、有界な領域で成り立つグリーンの第 2 公式（ガウスの発散定理）と、ルベーグの優収束定理は用いてよい。

$f$ を $[0,\pi ]$ 上の実数値連続関数とする。実数値関数 $u(x,t)$ は $[0,\pi ]\times [0,\infty )$ で連続であり、$[0,\pi ]\times (0,\infty )$ で $u_t,u_x,u_{xx}$ が存在して連続（$x=0,\pi$ では片側微分とする）で、
$$u_t=u_{xx}(0\le x\le \pi ,t>0),u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=f(x)(0\le x\le \pi )$$
をみたすとする。$\beta =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(y)\sin ydy$ とおくとき、
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\underset{0\le x\le \pi }{\sup }|e^{t}u(x,t)-\beta \sin x|=0$$
が成り立つことを示せ。

ただし、次の事実は用いてよい：$[0,\pi ]$ 上の連続関数 $g$ が、すべての正の整数 $n$ について ${\int }_0^{\pi }g(x)\sin nxdx=0$ をみたすならば、$g$ は $[0,\pi ]$ 上で恒等的に $0$ である。

$u=u(x,t)$ に対する保存形の非粘性バーガース方程式の初期値問題
$$u_t+{\left(\frac{u^2}{2}\right)}_x=0(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=u_0(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x<0)\\ 1& (0<x<1)\\ -1& (x>1)\end{array}$$
を考える。この問題のエントロピー解（ランキン・ユゴニオ条件とラックスのエントロピー条件を満たす区分的に滑らかな弱解）は、$t>0$ においてちょうど 1 本の衝撃波をもつ。時刻 $t$ における衝撃波の位置を $x=s(t)$ とするとき、$s(9)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ における作用素 $L=-\Delta +1$ を考える（$\Delta$ はラプラシアン、$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。超関数の意味で
$$(-\Delta +1)\Phi ={\delta }_0({\mathbb{R}}^3\text{ 上})$$
をみたし、$x\ne 0$ で $|x|$ のみに依存し、かつ $|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となる関数 $\Phi$ を $L$ の基本解とする。ここで ${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタである。

$B=\{y\in {\mathbb{R}}^3\mid |y|<1\}$ の定義関数を $f={\chi }_B$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
と定める。$u(2,0,0)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ において、作用素 $-\Delta +1$ の基本解を考える。すなわち、超関数の意味で
$$-\Delta \Phi +\Phi ={\delta }_0(\text{in }{\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^3))$$
をみたし、$\Phi (x)$ は $|x|$ のみに依存し、$|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となるものを $\Phi$ とする（${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタ）。

単位閉球 $\overline{B}=\{y\in {\mathbb{R}}^3:|y|\le 1\}$ の定義関数を $f={\chi }_{\overline{B}}$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
とおく（$u$ は $-\Delta u+u=f$ の、無限遠で $0$ に減衰する解である）。点 $x_0=(2,0,0)$ における値 $u(x_0)$ を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=0,u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は変数分離とフーリエ級数で得られる解
$$u(x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }{b}_k{e}^{-{\mu }_k^{2}t}\sin ({\mu }_{k}x),{\mu }_k=k+\frac{1}{2}$$
の形で表される（係数 $b_k$ は初期条件から定まる）。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }u(\pi ,t)dt$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付き波動方程式（電信方程式）の初期値・境界値問題
$$u_{tt}+2u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=x(\pi -x),u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。変数分離法により $u$ を $\sin nx$（$n$ は正の整数）のフーリエ正弦級数
$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{T}_n(t)\sin nx$$
の形で求めたとき、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }u\left(\frac{\pi }{2},t\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^5}=\frac{5{\pi }^5}{1536}$ を用いてよい。

${\mathbb{R}}^3$ における波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=\Delta u(x\in {\mathbb{R}}^3,t>0),u(x,0)=e^{-|x{|}^2},u_t(x,0)=0(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
を考える。ここで $\Delta$ は $x=(x_1,x_2,x_3)$ に関するラプラシアン、$|x|$ はユークリッドノルムであり、$u$ はこの問題のただ 1 つの $C^2$ 級の解とする。原点での値 $u(0,t)$ の $t>0$ における最小値を求めよ。