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偏微分方程式の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学偏微分方程式

実数 $x$ と $t > 0$ に対して、関数 $u (x, t)$ は熱方程式の初期値問題
$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} (x \in R, t > 0), u (x, 0) = e^{- x^{2}} (x \in R)$
の有界な解とする。フーリエ変換を用いて、 $u (x, t)$ を $x, t$ の式で求めよ。

ただし、フーリエ変換とその逆変換は次で定める。
$f^(ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i x ξ} d x, f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} f^(ξ) e^{i x ξ} d ξ$
また、 $a > 0$ に対して $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2}} e^{- i x ξ} d x = \frac{π}{a} e^{- ξ^{2} / (4 a)}$ が成り立つことは用いてよい。

この問題で使うもの

フーリエ変換による解法と熱核（説明と入口の問題）
フーリエ変換（説明と入口の問題）
変数分離形（説明と入口の問題）
ガウス積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（81 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「フーリエ変換による解法と熱核」を使います。 $x$ についてフーリエ変換すると、偏微分方程式が各 $ξ$ ごとの $t$ の常微分方程式に変わります。

ヒント 2

$u_{xx} = - ξ^{2} u^$ より $u^_{t} = - ξ^{2} u^$ となり、 $u^(ξ, t) = u^(ξ, 0) e^{- ξ^{2} t}$ です。初期値の変換は $u^(ξ, 0) = π e^{- ξ^{2} /4}$ です。

ヒント 3

$u^(ξ, t) = π e^{- \frac{1 + 4 t}{4} ξ^{2}}$ になります。 $a = \frac{1 + 4 t}{4}$ としてガウス関数の公式で逆変換しましょう。

答えと解説

答えを見る

\frac{1}{1 + 4 t} e^{- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}}

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解説を読む

手順 1： $x$ についてフーリエ変換する。
$u (x, t)$ を $x$ についてフーリエ変換したものを $u^(ξ, t)$ とおく。微分はかけ算に変わり、 $u_{xx} = (i ξ)^{2} u^= - ξ^{2} u^$ である。 $t$ についての微分はそのまま積分の外に出せるので、熱方程式は
$\frac{\partial u ^}{\partial t} (ξ, t) = - ξ^{2} u^(ξ, t)$
となる。これは各 $ξ$ ごとの $t$ についての常微分方程式（変数分離形）である。

手順 2：初期値をフーリエ変換する。
与えられた公式で $a = 1$ とすると
$u^(ξ, 0) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} e^{- i x ξ} d x = π e^{- ξ^{2} /4} .$

手順 3：常微分方程式を解く。
$u^(ξ, t) = u^(ξ, 0) e^{- ξ^{2} t}$ なので
$u^(ξ, t) = π e^{- ξ^{2} /4} e^{- ξ^{2} t} = π e^{- \frac{1 + 4 t}{4} ξ^{2}} .$

手順 4：逆変換する。
$a = \frac{1 + 4 t}{4} > 0$ とおく。ガウス関数は偶関数なので、与えられた公式の $x$ と $ξ$ の役割を入れかえると $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- a ξ^{2}} e^{i x ξ} d ξ = \frac{π}{a} e^{- x^{2} / (4 a)}$ となる。よって
$u (x, t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} π e^{- a ξ^{2}} e^{i x ξ} d ξ = \frac{π}{2 π} \frac{π}{a} e^{- x^{2} / (4 a)} .$
ここで $\frac{π}{a} = \frac{2 π}{1 + 4 t}$ 、 $4 a = 1 + 4 t$ だから
$u (x, t) = \frac{π \cdot 2 π}{2 π 1 + 4 t} e^{- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}} = \frac{1}{1 + 4 t} e^{- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}} .$

熱核による見方（確認）。
$u^(ξ, t) = e^{- ξ^{2} t} u^(ξ, 0)$ の右辺は積である。 $e^{- ξ^{2} t}$ は熱核 $G (x, t) = \frac{1}{4 π t} e^{- x^{2} / (4 t)}$ のフーリエ変換なので、積は畳み込みに戻り、
$u (x, t) = \int_{- \infty}^{\infty} G (x - y, t) e^{- y^{2}} d y$
となる。指数部分を $y$ について平方完成すると
$- \frac{( x - y ) ^{2}}{4 t} - y^{2} = - \frac{1 + 4 t}{4 t} (y - \frac{x}{1 + 4 t})^{2} - \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}$
である。ガウス積分 $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{1 + 4 t}{4 t} s^{2}} d s = \frac{4 π t}{1 + 4 t}$ を使うと
$u (x, t) = \frac{1}{4 π t} \frac{4 π t}{1 + 4 t} e^{- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}}$
となり、同じ結果を得る。 $t \to + 0$ で $e^{- x^{2}}$ に戻ることも確かめられる。

答え： $u (x, t) = \frac{1}{1 + 4 t} e^{- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}}$

別解

$x$ についてフーリエ変換すると $u^_{t} = - ξ^{2} u^$ より $u^(ξ, t) = u^(ξ, 0) e^{- ξ^{2} t}$ 。初期値は $a = 1$ として $u^(ξ, 0) = π e^{- ξ^{2} /4}$ 。よって $u^(ξ, t) = π e^{- ξ^{2} (t + 1/4)} = π e^{- ξ^{2} (4 t + 1) /4}$ 。

これは $e^{- a x^{2}}$ の変換 $π / a e^{- ξ^{2} / (4 a)}$ で $1/ (4 a) = (4 t + 1) /4$ 、すなわち $a = 1/ (4 t + 1)$ とした場合に対応する。このとき $π / a = π (4 t + 1)$ であるから、 $u^= π e^{- ξ^{2} / (4 a)} = \frac{1}{4 t + 1} \cdot π / a e^{- ξ^{2} / (4 a)}$ 。したがって逆変換して
$u (x, t) = \frac{1}{4 t + 1} exp (- \frac{x ^{2}}{4 t + 1}) 。$

検算： $t = 0$ で $e^{- x^{2}}$ となる。また $u = (1 + 4 t)^{- 1/2} e^{- x^{2} / (1 + 4 t)}$ について、 $u_{xx} = (1 + 4 t)^{- 1/2} e^{- x^{2} / s} (- 2/ s + 4 x^{2} / s^{2})$ （ $s = 1 + 4 t$ ）。 $u_{t} = u (- 2/ s + 4 x^{2} / s^{2})$ （ $\partial_{t} (- \frac{1}{2} lo g s) = - 2/ s$ 、 $\partial_{t} (- x^{2} / s) = 4 x^{2} / s^{2}$ ）であり一致する。

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