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偏微分方程式の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学偏微分方程式

実数 $x$ と $t \geq 0$ に対して定義された関数 $u (x, t)$ についての熱方程式の初期値問題
$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} (x \in R, t > 0), u (x, 0) = e^{- x^{2}} (x \in R)$
を考える。 $u$ は各 $t \geq 0$ で $x$ について急減少する（フーリエ変換が使える）滑らかな解とする。フーリエ変換を $f^(ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i x ξ} d x$ で定め、フーリエ変換を用いて解 $u (x, t)$ を $x, t$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

フーリエ変換による解法と熱核（説明と入口の問題）
フーリエ変換（説明と入口の問題）
ガウス積分（説明と入口の問題）
変数分離形（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（81 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「フーリエ変換による解法と熱核」を使う。 $x$ についてフーリエ変換すると、偏微分方程式が $ξ$ ごとの常微分方程式になる。

ヒント 2

$u_{xx} = - ξ^{2} u^$ より $u^(ξ, t) = u^(ξ, 0) e^{- ξ^{2} t}$ 。また $e^{- b x^{2}} (ξ) = π / b e^{- ξ^{2} / (4 b)}$ を使う。

ヒント 3

$u^(ξ, t) = π e^{- \frac{1 + 4 t}{4} ξ^{2}}$ となる。これがどんなガウス関数のフーリエ変換かを、 $\frac{1}{4 b} = \frac{1 + 4 t}{4}$ となる $b$ を選んで読み取る。

答えと解説

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\frac{1}{1 + 4 t} exp (- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t})

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解説を読む

手順 1： $x$ についてフーリエ変換する。
$u^(ξ, t) = \int_{- \infty}^{\infty} u (x, t) e^{- i x ξ} d x$ とおく。微分はかけ算に変わり $u_{xx} = (i ξ)^{2} u^= - ξ^{2} u^$ なので、方程式は
$\frac{\partial u ^}{\partial t} (ξ, t) = - ξ^{2} u^(ξ, t)$
という、各 $ξ$ ごとの $t$ についての常微分方程式になる。

手順 2：常微分方程式を解く。
変数分離により $u^(ξ, t) = u^(ξ, 0) e^{- ξ^{2} t}$ 。

手順 3：初期値のフーリエ変換。
$b > 0$ に対して $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- b x^{2}} e^{- i x ξ} d x = \frac{π}{b} e^{- ξ^{2} / (4 b)}$ （ガウス積分）。 $b = 1$ として $u^(ξ, 0) = π e^{- ξ^{2} /4}$ 。よって
$u^(ξ, t) = π e^{- ξ^{2} (\frac{1}{4} + t)} = π e^{- \frac{1 + 4 t}{4} ξ^{2}} .$

手順 4：逆変換する。
上の公式で $\frac{1}{4 b} = \frac{1 + 4 t}{4}$ 、すなわち $b = \frac{1}{1 + 4 t}$ とすると、 $e^{- x^{2} / (1 + 4 t)}$ のフーリエ変換は $π (1 + 4 t) e^{- \frac{1 + 4 t}{4} ξ^{2}}$ である。したがって
$u^(ξ, t) = \frac{1}{1 + 4 t} \cdot (e^{- x^{2} / (1 + 4 t)}) (ξ)$
となり、逆変換して
$u (x, t) = \frac{1}{1 + 4 t} exp (- \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}) .$

（熱核による確認） 手順 2 の $e^{- ξ^{2} t}$ は熱核 $K (x, t) = \frac{1}{4 π t} e^{- x^{2} / (4 t)}$ のフーリエ変換なので、積は畳み込みに戻り $u (x, t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{4 π t} e^{- \frac{( x - y ) ^{2}}{4 t}} e^{- y^{2}} d y$ 。指数部を $y$ について平方完成すると
$- \frac{( x - y ) ^{2}}{4 t} - y^{2} = - \frac{1 + 4 t}{4 t} (y - \frac{x}{1 + 4 t})^{2} - \frac{x ^{2}}{1 + 4 t}$
となり、ガウス積分 $\int e^{- \frac{1 + 4 t}{4 t} s^{2}} d s = \frac{4 π t}{1 + 4 t}$ から同じ結果を得る。 $t = 0$ で $e^{- x^{2}}$ に一致し、 $u_{t} = u_{xx}$ も直接確かめられる。

別解

$u (x, t)$ を $x$ についてフーリエ変換すると、 $u^_{t} = - ξ^{2} u^$ より $u^(ξ, t) = u^(ξ, 0) e^{- ξ^{2} t}$ である。

初期値のフーリエ変換は $e^{- x^{2}} (ξ) = π e^{- ξ^{2} /4}$ である。よって
$u^(ξ, t) = π e^{- ξ^{2} (t + 1/4)} = π e^{- (4 t + 1) ξ^{2} /4} .$

逆変換を行う。 $a > 0$ に対して $e^{- a x^{2}} (ξ) = π / a e^{- ξ^{2} / (4 a)}$ が成り立つ。 $1/ (4 a) = (4 t + 1) /4$ とおくと $a = 1/ (4 t + 1)$ となる。このとき $π / a = π (4 t + 1)$ である。

したがって $e^{- x^{2} / (4 t + 1)}$ のフーリエ変換は $π (4 t + 1) e^{- (4 t + 1) ξ^{2} /4}$ である。これと $u^$ を比べて
$u (x, t) = \frac{1}{4 t + 1} exp (- \frac{x ^{2}}{4 t + 1}) .$

検算： $t = 0$ で $e^{- x^{2}}$ となる。 $u = (1 + 4 t)^{- 1/2} e^{- x^{2} / (1 + 4 t)}$ とおくと、 $u_{t} = u (- \frac{2}{1 + 4 t} + \frac{4 x ^{2}}{( 1 + 4 t ) ^{2}})$ である。また $u_{x} = - \frac{2 x}{1 + 4 t} u$ より $u_{xx} = u (\frac{4 x ^{2}}{( 1 + 4 t ) ^{2}} - \frac{2}{1 + 4 t})$ となり、 $u_{t} = u_{xx}$ が成り立つ。

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