偏微分方程式の問題

方針. フーリエ変換 $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$ を $x$ について施すと、${\partial }_x^2$ は $-{\xi }^2$ 倍に変わるので、熱方程式は
$$\frac{\partial \hat{u}}{\partial t}(\xi ,t)=-{\xi }^2\hat{u}(\xi ,t)$$
という $t$ についての常微分方程式（変数分離形）になる。これを解くと $\hat{u}(\xi ,t)=e^{-t{\xi }^2}\hat{u}(\xi ,0)$。$e^{-t{\xi }^2}$ は熱核 $G(x,t)$ のフーリエ変換なので、積が畳み込みに戻り
$$u(x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(x-y,t)u(y,0)dy$$
となる。これが問題文の式である。以下、この積分を計算する。

計算.
$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left(-\frac{(x-y{)}^2}{4t}-y^2\right)dy.$$
指数の中を $y$ について平方完成する。
$$\frac{(x-y{)}^2}{4t}+y^2=\frac{(1+4t)y^2-2xy+x^2}{4t}=\frac{1+4t}{4t}{\left(y-\frac{x}{1+4t}\right)}^2+\frac{x^2}{4t}-\frac{x^2}{4t(1+4t)}.$$
最後の 2 項は
$$\frac{x^2}{4t}\left(1-\frac{1}{1+4t}\right)=\frac{x^2}{4t}\cdot \frac{4t}{1+4t}=\frac{x^2}{1+4t}.$$
よって
$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{e}^{-\frac{x^2}{1+4t}}{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left(-\frac{1+4t}{4t}{\left(y-\frac{x}{1+4t}\right)}^2\right)dy.$$
ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{s}^2}ds=\sqrt{\pi /a}(a>0)$ を $a=\frac{1+4t}{4t}$ として使う（平行移動しても積分値は変わらない）と、積分は $\sqrt{\frac{4\pi t}{1+4t}}$。したがって
$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\sqrt{\frac{4\pi t}{1+4t}}{e}^{-\frac{x^2}{1+4t}}=\frac{1}{\sqrt{1+4t}}{e}^{-\frac{x^2}{1+4t}}.$$

確認. $t=0$ で $e^{-x^2}$ に一致する。また $\hat{u}(\xi ,t)=\sqrt{\pi }{e}^{-(t+\frac{1}{4}){\xi }^2}$ を逆変換しても同じ式が得られる。

答え: $u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1+4t}}{e}^{-\frac{x^2}{1+4t}}$

畳み込みはガウス関数どうしの積分なので、平方完成で計算する。

$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\int e^{-\frac{(x-y{)}^2}{4t}-y^2}dy$ とおく。

指数部分は、$-\frac{(x-y{)}^2}{4t}-y^2=-\frac{1}{4t}\left[(x-y{)}^2+4t{y}^2\right]$ である。

角括弧の中を展開する。$(x-y{)}^2+4t{y}^2=(1+4t)y^2-2xy+x^2$ である。

これを $y$ について平方完成する。
$=(1+4t){\left(y-\frac{x}{1+4t}\right)}^2+x^2-\frac{x^2}{1+4t}$
$=(1+4t){\left(y-\frac{x}{1+4t}\right)}^2+\frac{4t{x}^2}{1+4t}$

よって指数は
$-\frac{1+4t}{4t}{\left(y-\frac{x}{1+4t}\right)}^2-\frac{x^2}{1+4t}$ となる。

ガウス積分 $\int e^{-a{s}^2}ds=\sqrt{\pi /a}$ を $a=\frac{1+4t}{4t}$ で用いると、$\sqrt{\frac{4\pi t}{1+4t}}$ を得る。

以上から
$u=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\sqrt{\frac{4\pi t}{1+4t}}{e}^{-\frac{x^2}{1+4t}}=\frac{1}{\sqrt{1+4t}}{e}^{-\frac{x^2}{1+4t}}$ である。

検算：
- $t\to 0$ のとき $e^{-x^2}$ になり、初期条件を満たす。
- $u=(1+4t{)}^{-1/2}{e}^{-x^2/(1+4t)}$ とおく。$u_t=u\left(-\frac{2}{1+4t}+\frac{4x^2}{(1+4t{)}^2}\right)$ である。
- $u_x=-\frac{2x}{1+4t}u$ より、$u_{xx}=u\left(-\frac{2}{1+4t}+\frac{4x^2}{(1+4t{)}^2}\right)$ である。
- $u_t=u_{xx}$ が成り立つ。