境界値問題と固有値

$\lambda$ を実数の定数とする。区間 $0\le x\le 2$ で定義された関数 $y(x)$ についての境界値問題
$$y^{\prime \prime }+\lambda y=0,y(0)=0,y(2)=0$$
が恒等的に $0$ でない解をもつような $\lambda$（固有値）のうち、最小のものを求めよ。

$\lambda$ を正の実数とする。$x$ の関数 $y$ についての境界値問題
$$y^{\prime \prime }+\lambda y=0,y(0)=0,y(3)=0$$
が恒等的に $0$ ではない解をもつような $\lambda$（固有値）のうち、2 番目に小さいものを求めよ。

$\lambda$ を正の実数とする。$x$ の関数 $y(x)$ についての境界値問題
$$y^{\prime \prime }+\lambda y=0,y(0)=0,y(2)=0$$
が恒等的に $0$ ではない解をもつような $\lambda$（固有値）のうち、最小のものを求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),u(x,0)=\sin 2x,u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u=X(x)T(t)$ とおく変数分離法によってこの問題の解を求め、$u\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{18}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=4u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=\sin 3x,u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。この問題の滑らかな解はただ一つであることが知られている。$u=X(x)T(t)$ とおく変数分離法によって解 $u(x,t)$ を求め、$u\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{18}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=4u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=2\sin x,u_t(x,0)=6\sin 3x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u(x,t)=X(x)T(t)$ とおく変数分離法で得られる解 $u$ について、$u\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{8}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=x(1-x)(0\le x\le 1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によってこの問題の解 $u$ を求め、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=1(0<x<1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によって得られる解 $u$ について、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

複素ヒルベルト空間 $L^2([0,\pi ])$（内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)\overline{g(x)}dx$）において、作用素 $L$ を次で定める。
$$Lu=-u^{\prime \prime },D(L)=\{u\in H^2(0,\pi ):u^{\prime }(0)=0,u(\pi )=0\}.$$
$L$ は自己共役作用素であり、その固有関数全体は $L^2([0,\pi ])$ の完全正規直交系をなす。関数
$$f(x)=3\cos \frac{x}{2}+5\cos \frac{3x}{2}$$
に対して、方程式 $Lu-u=f$ の解 $u\in D(L)$ はただ 1 つ存在する。$L$ の固有関数展開を用いてこの解 $u$ を求め、値 $u\left(\frac{2\pi }{3}\right)$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2(0,\pi )$ に内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)\overline{g(x)}dx$ を入れる。作用素 $A$ を
$$Au=-u^{\prime \prime },D(A)=\{u\in H^2(0,\pi )\mid u(0)=u(\pi )=0\}$$
で定める。$A$ は自己共役作用素である。$u\in D(A)$ を境界値問題
$$-u^{\prime \prime }(x)=1(0<x<\pi ),u(0)=u(\pi )=0$$
の解とする。$A$ の固有関数による展開を用いて $⟨u,1⟩$ を級数で表し、$u$ を直接求めて計算した $⟨u,1⟩$ の値と比べることで、級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}$$
の値を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(1-\max (x,y))f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。複素数 $\lambda$ が $T$ の固有値であるとは、$f\ne 0$ である $f\in L^2([0,1])$ で $Tf=\lambda f$ を満たすものが存在することとする。$T$ の固有値のうち $\frac{1}{100}$ より大きい実数であるものをすべて求めよ。

$u=u(x,t)$ に対するノイマン境界条件付きの熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
の解を、変数分離法により余弦フーリエ級数で表されるものとする。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }\left(u(0,t)-\frac{\pi }{2}\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

長方形領域 $R=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 0<x<\pi ,0<y<1\}$ におけるラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in R),$$
$$u(0,y)=u(\pi ,y)=0(0\le y\le 1),u(x,0)=0,u(x,1)=\sin x+\sin 3x(0\le x\le \pi )$$
の解 $u\in C^2(R)\cap C(\overline{R})$ はただ 1 つ存在する。変数分離法によりこの解を求め、$u\left(\frac{\pi }{2},\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

区間 $[1,e]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(1)=0$, $y(e)=0$ と積分制約
$${\int }_1^{e}y(x{)}^{2}dx=1$$
を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数
$$J[y]={\int }_1^e{x}^2{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1\min (x,y)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の固有値のうち $\frac{1}{100}$ より大きいものの個数を、重複度（固有空間の次元）を込めて数えて求めよ。ただし、$\lambda \in \mathbb{C}$ が $T$ の固有値であるとは、$Tf=\lambda f$ を満たす $f\ne 0$（$L^2$ の元として）が存在することをいう。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が、張力 $T$ で $x$ 軸に沿って張られている（$L>0$, $\mu >0$, $T>0$）。弦の端 $x=0$ は壁に固定されている。もう一方の端 $x=L$ には質量の無視できる小さな輪が付いており、この輪は $x=L$ に鉛直に立てたなめらかな棒に沿って $y$ 方向にだけ自由に動ける。弦の横変位 $y(x,t)$ は微小で、波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}(0<x<L)$$
に従うものとし、重力・空気抵抗は無視する。

時刻 $t=0$ に弦を
$$y(x,0)=A{\sin }^3\frac{\pi x}{2L}(0\le x\le L)$$
の形にして静かに放した（$A>0$ は定数で、変位は十分小さい。すべての点の初速度は $0$）。$t\ge 0$ における輪の変位 $y(L,t)$ を、$A$, $L$, $\mu$, $T$, $t$ を用いて表せ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,2])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^2\min (x,y)f(y)dy(f\in L^2([0,2]),x\in [0,2])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値を重複度（固有空間の次元）の分だけ繰り返して並べたものを ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_3\ge \cdots$ とする。無限積
$$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\lambda }_n\right)$$
の値を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,\pi ])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^{\pi }(\pi -\max (x,y))f(y)dy(f\in L^2([0,\pi ]),x\in [0,\pi ])$$
で定める。ここで $\lambda \in \mathbb{C}$ が $T$ の固有値であるとは、$Tf=\lambda f$ を満たす $0$ でない $f\in L^2([0,\pi ])$ が存在することをいう。$T$ の固有値のうち、実数であって $\frac{1}{10}$ 以上であるものをすべて求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する、左端が固定（ディリクレ条件）・右端が断熱（ノイマン条件）の熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=0,u_x(\pi ,t)=0(t>0),$$
$$u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。ここで $u$ は、境界条件をみたす固有関数による変数分離とフーリエ級数展開で得られる解とする（$t>0$ では級数は項別微分可能で滑らかな関数を定め、$t\to +0$ のとき $u(\cdot ,t)$ は $L^2(0,\pi )$ で初期値 $x$ に収束する）。このとき
$$J={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t{)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。

$L^2(0,1)$ を区間 $(0,1)$ 上の複素数値 2 乗可積分関数（ほとんどいたるところ等しいものを同一視する）のなすヒルベルト空間とする。積分作用素 $K:L^2(0,1)\to L^2(0,1)$ を
$$(Kf)(x)={\int }_0^1(1-\max (x,t))f(t)dt(0<x<1)$$
で定める。$\lambda \in \mathbb{C}$ が $K$ の固有値であるとは、$Kf=\lambda f$ を満たす $f\in L^2(0,1)$, $f\ne 0$ が存在することをいう。このとき、$K$ の固有値全体の集合が
$$\left\{\frac{4}{(2n-1{)}^2{\pi }^2}|n=1,2,3,\dots \right\}$$
に一致することを証明せよ（特に $0$ は固有値でない）。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- フビニの定理。
- $f\in L^1(0,1)$ に対し $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ は $[0,1]$ 上連続であり、すべての $x\in [0,1]$ で $F(x)=0$ ならば $f=0$（ほとんどいたるところ）である。
- 定数係数の 2 階線形常微分方程式 $u^{\prime \prime }+cu=0$（$c\in \mathbb{C}$）の $C^2$ 級の解は、初期値 $u(0),u^{\prime }(0)$ によって一意に定まる。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^{1}K(x,y)f(y)dy,K(x,y)=\frac{1}{2}\min (x,y)(2-\max (x,y))(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の $0$ でない固有値を重複度をこめて ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots$ と並べる（固有値はすべて正の実数であり、${\sum }_n{\lambda }_n<\infty$ となることが知られている）。無限積
$$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\lambda }_n\right)$$
の値を求めよ。