レイリー商と固有値問題の変分原理

区間 $[0,L]$ で $y(0)=y(L)=0$ とし、制約 ${\int }_0^L{y}^{2}dx=1$ のもとで $J[y]={\int }_0^L{y}^{\prime 2}dx$ を停留させます。乗数法により $F=y^{\prime 2}-\lambda y^2$ のオイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=-2\lambda y-2y^{\prime \prime }=0$、すなわち $y^{\prime \prime }+\lambda y=0$ が得られます（制約の汎関数 $\int y^{2}dx$ の停留曲線は $2y=0$ より $y\equiv 0$ だけで、これは $\int y^2=1$ に反するので乗数法が使えます）。$y\not\equiv 0$ なので、$\lambda$ は境界値問題の固有値、$y$ は固有関数でなければなりません。固有値は ${\lambda }_n={\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2$、固有関数は ${\phi }_n=\sin \frac{n\pi x}{L}$（$n=1,2,\dots$）です。さらに方程式に $y$ を掛けて部分積分すると ${\int }_0^L{y}^{\prime 2}dx=[y{y}^{\prime }{]}_0^L-{\int }_0^{L}y{y}^{\prime \prime }dx=\lambda {\int }_0^L{y}^{2}dx=\lambda$ となり、停留値は乗数 $\lambda$ そのもの、つまり固有値に等しいことがわかります。比 $R[y]=\frac{\int y^{\prime 2}dx}{\int y^{2}dx}$ をレイリー商といい、制約 $\int y^2=1$ のもとでの $\int y^{\prime 2}$ の最小化はレイリー商の最小化と同じです。

では停留値のうちどれが最小で、それが本当に最小値なのかを確かめます。ここでは前提技能の範囲を超えるフーリエ級数の事実を 2 つ、証明なしに使います。$y$ の正弦係数を $b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}y\sin \frac{n\pi x}{L}dx$ とします。
(事実 1) $[0,L]$ 上の連続関数 $f$ について、正弦係数 $b_n$ に対し ${\int }_0^L{f}^{2}dx=\frac{L}{2}{\sum }_{n\ge 1}{b}_n^2$（正弦系 $\{\sin \frac{n\pi x}{L}\}$ のパーセバルの等式）。
(事実 2) $[0,L]$ 上の連続関数 $g$ について、$a_0=\frac{1}{L}{\int }_0^{L}gdx$, $a_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}g\cos \frac{n\pi x}{L}dx$ とおくと ${\int }_0^L{g}^{2}dx=L{a}_0^2+\frac{L}{2}{\sum }_{n\ge 1}{a}_n^2$（余弦系 $\{1,\cos \frac{n\pi x}{L}\}$ のパーセバルの等式）。
積和の公式から $m\ne n$ のとき ${\int }_0^L{\phi }_m{\phi }_{n}dx=0$（直交性）、${\int }_0^L{\phi }_n^{2}dx=\frac{L}{2}$ ですが、直交性だけからは $\int y^2\ge \frac{L}{2}\sum b_n^2$ という不等式しか出ないので、等式には系が「完全」であること、つまり上の事実が必要です。

$y$ を $C^1$ 級とし、$g=y^{\prime }$ の余弦係数を計算します。$a_0=\frac{1}{L}{\int }_0^L{y}^{\prime }dx=\frac{y(L)-y(0)}{L}=0$。部分積分と $y(0)=y(L)=0$ から $$a_n=\frac{2}{L}{\left[y\cos \frac{n\pi x}{L}\right]}_0^L+\frac{2}{L}\cdot \frac{n\pi }{L}{\int }_0^{L}y\sin \frac{n\pi x}{L}dx=\frac{n\pi }{L}{b}_n.$$ つまり $y^{\prime }$ の余弦級数は $\sum \frac{n\pi }{L}{b}_n\cos \frac{n\pi x}{L}$ です。事実 1, 2 より $${\int }_0^L{y}^{2}dx=\frac{L}{2}\sum _{n\ge 1}{b}_n^2,{\int }_0^L{y}^{\prime 2}dx=\frac{L}{2}\sum _{n\ge 1}{\lambda }_n{b}_n^2$$ となり、${\lambda }_n\ge {\lambda }_1$ から $\int y^{\prime 2}\ge {\lambda }_1\int y^2$ が成り立ちます。等号は $n\ge 2$ の $b_n$ がすべて 0、つまり $y$ が ${\phi }_1$ の定数倍のときです。したがって最小値は ${\lambda }_1$ です。制約 $\int y{\phi }_{1}dx=0$ を加えると $b_1=0$ になり、同じ計算で $\int y^{\prime 2}=\frac{L}{2}{\sum }_{n\ge 2}{\lambda }_n{b}_n^2\ge {\lambda }_2\int y^2$、等号は $y$ が ${\phi }_2$ の定数倍のときです。つまり最小の固有関数の方向を禁じると、次の固有値 ${\lambda }_2$ が最小値になります。${\phi }_1,\dots ,{\phi }_{k-1}$ のすべてと直交させれば最小値は ${\lambda }_k$ です。