変分法・最適制御の問題

ラグランジュ乗数による候補の決定. 制約 ${\int }_0^{\pi }{y}^{2}dx=1$, ${\int }_0^{\pi }y\sin xdx=0$ に乗数 $\lambda ,\mu$ を付けて
$${\int }_0^{\pi }\left(y^{\prime 2}-\lambda y^2-2\mu y\sin x\right)dx$$
のオイラー・ラグランジュ方程式を書くと
$$y^{\prime \prime }+\lambda y+\mu \sin x=0.$$
この式に $\sin x$ を掛けて $[0,\pi ]$ で積分する。部分積分を 2 回行い $y(0)=y(\pi )=0$ を使うと ${\int }_0^{\pi }{y}^{\prime \prime }\sin xdx=-{\int }_0^{\pi }y\sin xdx=0$ であり、制約から ${\int }_0^{\pi }y\sin xdx=0$ なので
$$\mu {\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}\mu =0,$$
よって $\mu =0$。すると $y^{\prime \prime }+\lambda y=0$, $y(0)=y(\pi )=0$ となり、恒等的に $0$ でない解は $\lambda =n^2$, $y=c\sin nx$（$n$ は正の整数）。${\int }_0^{\pi }y\sin xdx=0$ より $n\ne 1$。また停留関数では $y^{\prime \prime }=-\lambda y$ から、部分積分により
$$J[y]={\int }_0^{\pi }{y}^{\prime 2}dx=-{\int }_0^{\pi }y{y}^{\prime \prime }dx=\lambda {\int }_0^{\pi }{y}^{2}dx=\lambda =n^2$$
なので、候補の中で最小なのは $n=2$ のときの $J=4$ である（$y=\sqrt{2/\pi }\sin 2x$）。

これが最小値であることの確認. $y$ を正弦級数 $y(x)={\sum }_{n\ge 1}{b}_n\sin nx$ に展開する（$y$ は $C^2$ 級で $y(0)=y(\pi )=0$）。部分積分により $y^{\prime }$ の余弦展開は $y^{\prime }(x)={\sum }_{n\ge 1}n{b}_n\cos nx$（定数項は $\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }{y}^{\prime }dx=\frac{y(\pi )-y(0)}{\pi }=0$）。パーセバルの等式より
$${\int }_0^{\pi }{y}^{2}dx=\frac{\pi }{2}\sum _{n\ge 1}{b}_n^2=1,J[y]=\frac{\pi }{2}\sum _{n\ge 1}{n}^2{b}_n^2.$$
第 2 の制約は $b_1=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }y\sin xdx=0$ を意味するので
$$J[y]=\frac{\pi }{2}\sum _{n\ge 2}{n}^2{b}_n^2\ge 4\cdot \frac{\pi }{2}\sum _{n\ge 2}{b}_n^2=4.$$
等号は $b_n=0(n\ge 3)$ のとき、すなわち $y=\pm \sqrt{2/\pi }\sin 2x$ のときに成り立つ。実際 ${\int }_0^{\pi }\frac{2}{\pi }{\sin }^{2}2xdx=1$, ${\int }_0^{\pi }\sin 2x\sin xdx=0$, $J=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }4{\cos }^{2}2xdx=4$。

よって最小値は $4$。

$y(0)=y(\pi )=0$ の下で $-y^{\prime \prime }=\mu y$ の固有値問題を考えると、固有値は ${\mu }_n=n^2$、規格化された固有関数は ${\phi }_n=\sqrt{2/\pi }\sin nx$ $(n=1,2,\dots )$ で、$\{{\phi }_n\}$ は $L^2(0,\pi )$ の正規直交基底（ディリクレ条件の下で完全系）。

$y=\sum c_n{\phi }_n$ と展開する。$\int y^2=\sum c_n^2=1$。$\int y\sin xdx=\sqrt{\pi /2}{c}_1=0$ より $c_1=0$。
部分積分と境界条件より $J[y]=\int y^{\prime 2}=-\int y{y}^{\prime \prime }=\sum n^2{c}_n^2$（$C^2$ 級なので項別に扱える）。
$c_1=0$ なので $J={\sum }_{n\ge 2}{n}^2{c}_n^2\ge 4{\sum }_{n\ge 2}{c}_n^2=4$。等号は $c_2=\pm 1$、他は $0$、すなわち $y=\pm \sqrt{2/\pi }\sin 2x$ のとき成り立つ。

検算: $y=\sqrt{2/\pi }\sin 2x$ のとき $\int y^2=\frac{2}{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}=1$、$\int y\sin xdx=\sqrt{2/\pi }{\int }_0^{\pi }\sin 2x\sin xdx=0$、$\int y^{\prime 2}=\frac{2}{\pi }\cdot 4{\int }_0^{\pi }{\cos }^{2}2xdx=\frac{2}{\pi }\cdot 4\cdot \frac{\pi }{2}=4$。よって最小値は $4$。