変分法・最適制御の問題

停留関数の決定. 制約 ${\int }_0^{1}ydx=0$ に対するラグランジュ乗数を $\lambda$ とし、$$L=y^{\prime 2}-\lambda y$$ に対するオイラー・ラグランジュ方程式を立てると $$\frac{d}{dx}(2y^{\prime })-(-\lambda )=0\text{すなわち}{y}^{\prime \prime }=-\frac{\lambda }{2}$$ となる。よって $y$ は 2 次以下の多項式で、$y(x)=a{x}^2+bx+c$ とおける。

• $y(0)=0$ より $c=0$。
• $y(1)=1$ より $a+b=1$。
• ${\int }_0^{1}ydx=\frac{a}{3}+\frac{b}{2}=0$ より $2a+3b=0$。

これを解くと $b=-2$, $a=3$ であり、$$y_0(x)=3x^2-2x$$ を得る（このとき $\lambda =-12$）。

最小であることの確認. 任意の $y\in \mathcal{A}$ を $y=y_0+h$ と書くと、$h$ は $C^2$ 級で $h(0)=h(1)=0$, ${\int }_0^{1}hdx=0$ を満たす。$$J[y]=J[y_0]+2{\int }_0^1{y}_0^{\prime }{h}^{\prime }dx+{\int }_0^1{h}^{\prime 2}dx.$$ 部分積分により $${\int }_0^1{y}_0^{\prime }{h}^{\prime }dx=[y_0^{\prime }h{]}_0^1-{\int }_0^1{y}_0^{\prime \prime }hdx=0-6{\int }_0^{1}hdx=0.$$ したがって $J[y]=J[y_0]+{\int }_0^1{h}^{\prime 2}dx\ge J[y_0]$ であり、$y_0$ で最小となる。

最小値の計算. $y_0^{\prime }(x)=6x-2$ より $$J[y_0]={\int }_0^1(6x-2{)}^{2}dx={\int }_0^1(36x^2-24x+4)dx=12-12+4=4.$$

よって最小値は $4$ である。

制約付き変分問題。ラグランジュ乗数 $\lambda$ を用いて $\int (y^{\prime 2}-2\lambda y)dx$ の停留条件を考えると、オイラー・ラグランジュ方程式は $y^{\prime \prime }=-\lambda$（定数）。よって $y=a{x}^2+bx+c$ の形。$y(0)=0$ より $c=0$、$y(1)=1$ より $b=1-a$。
積分制約: ${\int }_0^1(a{x}^2+(1-a)x)dx=\frac{a}{3}+\frac{1-a}{2}=0$ より $2a+3-3a=0$、$a=3$、$b=-2$。よって $y=3x^2-2x$。
確認: $y(0)=0$, $y(1)=1$, ${\int }_0^{1}ydx=1-1=0$。
$y^{\prime }=6x-2$、$J={\int }_0^1(6x-2{)}^{2}dx={\int }_0^1(36x^2-24x+4)dx=12-12+4=4$。
最小性: 任意の許容 $y=y_0+h$（$h(0)=h(1)=0$, $\int h=0$）に対し $J[y]=J[y_0]+2\int y_0^{\prime }{h}^{\prime }+\int h^{\prime 2}$。$\int y_0^{\prime }{h}^{\prime }=-\int y_0^{\prime \prime }h=-6\int h=0$ なので $J[y]=4+\int h^{\prime 2}\ge 4$。よって最小値は 4。