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変分法・最適制御の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学変分法・最適制御

区間 $[0, 1]$ 上の $C^{2}$ 級の実数値関数 $y (x)$ で、左端の境界条件 $y (0) = 0$ と積分制約 $\int_{0}^{1} y (x) d x = 1$ を満たすもの（右端の値 $y (1)$ は自由）の全体を考える。この範囲で汎関数 $J [y] = \int_{0}^{1} y^{'} (x)^{2} d x$ の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

積分制約つき変分問題（ラグランジュ乗数）（説明と入口の問題）
自由端と自然境界条件（説明と入口の問題）
オイラー・ラグランジュ方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（72 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

制約 $\int_{0}^{1} y d x = 1$ にラグランジュ乗数 $λ$ を掛けて、 $\int_{0}^{1} (y^{'2} - λ y) d x$ の停留問題として扱う。右端が自由なので自然境界条件も使う。

ヒント 2

オイラー・ラグランジュ方程式は $y^{''} = - λ /2$ （定数）となり、 $y$ は 2 次式。自然境界条件は $y^{'} (1) = 0$ 。

ヒント 3

$y (0) = 0$ , $y^{'} (1) = 0$ から $y = a (x^{2} - 2 x)$ とおけ、積分制約から $a = - \frac{3}{2}$ が決まる。あとは $\int_{0}^{1} y^{'2} d x$ を計算し、 $h = y - y^{*}$ を使って最小であることを確かめる。

答えと解説

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3

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解説を読む

停留関数の候補を求める。 ラグランジュ乗数 $λ$ を用いて、補助汎関数
$J ~ [y] = \int_{0}^{1} (y^{'2} - λ y) d x$
を考える。被積分関数 $F = y^{'2} - λ y$ のオイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{d x} \frac{\partial F}{\partial y ^{'}} = 0$ は
$- λ - 2 y^{''} = 0 すなわち y^{''} = - \frac{λ}{2}$
である。よって $y = - \frac{λ}{4} x^{2} + b x + c$ の形になる。

境界条件 $y (0) = 0$ から $c = 0$ 。右端は自由なので自然境界条件 $\frac{\partial F}{\partial y ^{'}}_{x = 1} = 2 y^{'} (1) = 0$ が必要である。 $a = - \frac{λ}{4}$ とおくと $y = a x^{2} + b x$ 、 $y^{'} (1) = 2 a + b = 0$ より $b = - 2 a$ 、すなわち $y = a (x^{2} - 2 x)$ 。

積分制約から
$\int_{0}^{1} a (x^{2} - 2 x) d x = a (\frac{1}{3} - 1) = - \frac{2 a}{3} = 1, a = - \frac{3}{2} .$
したがって候補は
$y^{*} (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 3 x, y^{*'} (x) = 3 (1 - x), y^{*''} (x) = - 3.$
このとき
$J [y^{*}] = \int_{0}^{1} 9 (1 - x)^{2} d x = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3.$

最小であることの確認。 任意の許容関数 $y$ に対し $h = y - y^{*}$ とおくと、 $h (0) = 0$ , $\int_{0}^{1} h d x = 0$ である。
$J [y] = J [y^{*}] + 2 \int_{0}^{1} y^{*'} h^{'} d x + \int_{0}^{1} h^{'2} d x .$
中央の項を部分積分すると
$\int_{0}^{1} y^{*'} h^{'} d x = [y^{*'} h]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y^{*''} h d x = y^{*'} (1) h (1) - y^{*'} (0) h (0) + 3 \int_{0}^{1} h d x = 0$
（ $y^{*'} (1) = 0$ , $h (0) = 0$ , $\int_{0}^{1} h d x = 0$ による）。よって
$J [y] = 3 + \int_{0}^{1} h^{'2} d x \geq 3$
で、等号は $h^{'} \equiv 0$ かつ $h (0) = 0$ 、すなわち $y = y^{*}$ のときに成り立つ。

したがって最小値は $3$ である。

別解

$v = y^{'}$ とおくと $y (x) = \int_{0}^{x} v (s) d s$ （ $y (0) = 0$ ）。積分制約は $\int_{0}^{1} y d x = \int_{0}^{1} (1 - s) v (s) d s = 1$ （部分積分または積分順序の交換）。
コーシー・シュワルツの不等式より $1 = (\int_{0}^{1} (1 - s) v d s)^{2} \leq \int_{0}^{1} (1 - s)^{2} d s \cdot \int_{0}^{1} v^{2} d s = \frac{1}{3} J [y]$ 。よって $J [y] \geq 3$ 。
等号は $v = c (1 - s)$ のとき成立。 $\int_{0}^{1} (1 - s) \cdot c (1 - s) d s = \frac{c}{3} = 1$ より $c = 3$ 。 $y^{'} = 3 (1 - x)$ 、 $y = 3 x - \frac{3}{2} x^{2}$ （ $C^{2}$ 級、 $y (0) = 0$ 、 $y (1) = \frac{3}{2}$ は自由なので問題なし）。
確認: $\int_{0}^{1} y d x = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$ 、 $J = \int_{0}^{1} 9 (1 - x)^{2} d x = 3$ 。
（オイラー・ラグランジュ方程式 $y^{''} =$ 定数、自然境界条件 $y^{'} (1) = 0$ からも同じ解が得られる。）最小値は 3。

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