自由端と自然境界条件

端点の値が自由な変分問題や、端点の項 $ϕ (y (b))$ を含む汎関数について、第 1 変分の境界項から自然境界条件 $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}}_{x = b} + ϕ^{'} (y (b)) = 0$ を導き、停留曲線と汎関数の最小値を求められる

前提

オイラー・ラグランジュ方程式（大学院数学変分法・最適制御）
オイラー型（コーシー・オイラー型）方程式（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）
オイラー・ラグランジュ方程式（大学院数学変分法・最適制御）
オイラー型（コーシー・オイラー型）方程式（大学数学微分方程式）

説明

変分問題で、端点の値 $y (b)$ があらかじめ決められていない（自由端の）場合や、汎関数に端点の値だけで決まる項 $ϕ (y (b))$ が加わった $J [y] = \int_{a}^{b} L (x, y, y^{'}) d x + ϕ (y (b))$ の場合に、停留曲線と最小値を求める方法です。両端固定のときは捨てていた第 1 変分の境界項から、端点で満たすべき条件（自然境界条件） $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}}_{x = b} + ϕ^{'} (y (b)) = 0$ が出てきます。オイラー・ラグランジュ方程式と合わせると、足りない境界条件がちょうど補われて解が決まります。

なぜそうしてよいのか

左端は $y (a) = A$ と固定し、右端 $y (b)$ は自由とします。停留曲線の候補 $y$ （ $C^{2}$ 級）に対し、 $η (a) = 0$ だけを満たす $C^{2}$ 級関数 $η$ でずらした $y + ε η$ を考えます。右端では $η (b)$ は 0 でなくてよい点が両端固定との違いです。 $Φ (ε) = J [y + ε η]$ を微分し、 $\int \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} η^{'} d x$ を部分積分すると
$Φ^{'} (0) = \int_{a}^{b} (\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}}) η d x + [\frac{\partial L}{\partial y ^{'}} η]_{a}^{b} + ϕ^{'} (y (b)) η (b)$
となります。最後の項は $\frac{d}{d ε} ϕ (y (b) + ε η (b))_{ε = 0}$ です。 $η (a) = 0$ なので境界項は $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}}_{x = b} η (b)$ だけが残ります。

$y$ が最小を与えるなら、すべての許される $η$ で $Φ^{'} (0) = 0$ です。まず $η (b) = 0$ となる $η$ だけを考えると、これは両端固定の場合と同じなので、オイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = 0$ が成り立ちます。すると積分の部分は常に 0 なので、一般の $η$ に対して残るのは
$(\frac{\partial L}{\partial y ^{'}}_{x = b} + ϕ^{'} (y (b))) η (b) = 0$
で、 $η (b)$ は任意の値にとれるので、かっこの中が 0 でなければなりません。これが自然境界条件です。 $ϕ$ がない単なる自由端なら $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}}_{x = b} = 0$ です。こうして 2 階の方程式に対して「 $y (a) = A$ 」と「自然境界条件」の 2 つの条件がそろい、積分定数が決まります。

最小値の計算も両端固定のときと同じ考え方でできます。 $L = y^{'2} + y^{2}$ なら $y^{''} = y$ を使って $\int_{a}^{b} (y^{'2} + y^{2}) d x = [y y^{'}]_{a}^{b}$ となるので、 $J = [y y^{'}]_{a}^{b} + ϕ (y (b))$ を計算します。また、 $ϕ$ が 1 次式または下に凸な 2 次式なら、 $J [y + η] - J [y]$ を展開すると 1 次の部分は上の計算でちょうど 0 になり、残りは $\int_{a}^{b} (η^{'2} + η^{2}) d x$ （と $ϕ$ からの 0 以上の項）なので、停留曲線が本当に最小を与えることも確かめられます。

手順

汎関数を $\int_{a}^{b} L (x, y, y^{'}) d x + ϕ (y (b))$ の形に整理し、固定されている端と自由な端を確認する。
オイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{d x} \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = 0$ を立てて一般解を求める。
固定端では与えられた値 $y (a) = A$ を、自由端では自然境界条件 $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}}_{x = b} + ϕ^{'} (y (b)) = 0$ を課す（端点の項がなければ $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}}_{x = b} = 0$ ）。
2 つの条件から積分定数を決めて停留曲線を得る。
最小値は、2 次の被積分関数なら部分積分で積分を境界項に直し、端点の項 $ϕ (y (b))$ を忘れずに加えて計算する。

例題

$y (0) = 0$ を満たし、 $y (1)$ は自由な $C^{2}$ 級関数 $y$ について、 $J [y] = \int_{0}^{1} (y^{'2} + y^{2}) d x - 2 y (1)$ の最小値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $L = y^{'2} + y^{2}$ 、 $ϕ (Y) = - 2 Y$ 。左端 $x = 0$ は固定、右端 $x = 1$ は自由。

【手順 2】 $\frac{\partial L}{\partial y} = 2 y, \frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = 2 y^{'}$ より $2 y - 2 y^{''} = 0$ 、すなわち $y^{''} = y$ 。一般解は $y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- x}$ 。

【手順 3】 $y (0) = 0$ より $c_{2} = - c_{1}$ で、 $y = c_{1} (e^{x} - e^{- x})$ 。自然境界条件は $ϕ^{'} (Y) = - 2$ より
$2 y^{'} (1) - 2 = 0 すなわち y^{'} (1) = 1.$

【手順 4】 $y^{'} = c_{1} (e^{x} + e^{- x})$ なので $c_{1} (e + e^{- 1}) = 1$ 、 $c_{1} = \frac{1}{e + e ^{- 1}}$ 。停留曲線は
$y = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e + e ^{- 1}} .$
（ $J [y + η] - J [y] = 2 η (1) (y^{'} (1) - 1) + \int_{0}^{1} (η^{'2} + η^{2}) d x = \int_{0}^{1} (η^{'2} + η^{2}) d x \geq 0$ なので、これが最小を与える。）

【手順 5】 $y^{''} = y$ より $\int_{0}^{1} (y^{'2} + y^{2}) d x = [y y^{'}]_{0}^{1} = y (1) y^{'} (1) - y (0) y^{'} (0) = y (1)$ 。よって
$J_{m i n} = y (1) - 2 y (1) = - y (1) = - \frac{e - e ^{- 1}}{e + e ^{- 1}} = \frac{1 - e ^{2}}{1 + e ^{2}} .$

答え: $\frac{1 - e ^{2}}{1 + e ^{2}}$

よくある誤り

自由端で $y (b) = 0$ や $y^{'} (b) = 0$ を勝手に課してしまう誤り。例題で $y^{'} (1) = 0$ とすると $ϕ$ の効果が消えてしまう。正しくは境界項から出る $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}}_{x = b} + ϕ^{'} (y (b)) = 0$ 、例題なら $2 y^{'} (1) - 2 = 0$ を使う。
$\frac{\partial L}{\partial y ^{'}}$ の係数を落とす誤り。 $L = y^{'2} + y^{2}$ で自然境界条件を $y^{'} (1) + ϕ^{'} (y (1)) = 0$ としてしまう。正しくは $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}} = 2 y^{'}$ なので $2 y^{'} (1) + ϕ^{'} (y (1)) = 0$ である。
左端が自由な場合に右端と同じ符号の条件を書いてしまう誤り。端点の項 $ψ (y (a))$ があるとき $\frac{\partial L}{\partial y ^{'}}_{x = a} + ψ^{'} (y (a)) = 0$ としてしまう。正しくは境界項 $[\frac{\partial L}{\partial y ^{'}} η]_{a}^{b}$ の下端にはマイナスが付くので $- \frac{\partial L}{\partial y ^{'}}_{x = a} + ψ^{'} (y (a)) = 0$ である。
最小値を計算するときに端点の項を加え忘れる誤り。例題で $J_{m i n} = [y y^{'}]_{0}^{1} = y (1)$ としてしまう。正しくは $J_{m i n} = [y y^{'}]_{0}^{1} - 2 y (1) = - y (1)$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
区間 $[0, 1]$ 上の $C^{2}$ 級の実数値関数 $y (x)$ で、左端の境界条件 $y (0) = 0$ だけを満たすもの（右端の値 $y (1)$ は自由）の全体を考える。この範囲で汎関数
$J [y] = \int_{0}^{1} (y^{'} (x)^{2} + 2 y (x)) d x + y (1)^{2}$
の最小値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ポントリャーギンの最大原理（大学院数学変分法・最適制御）