変分法・最適制御の問題

1. 停留条件の導出

$y\in \mathcal{A}$ に対し、$\eta$ を $\eta (0)={\eta }^{\prime }(0)=0$ を満たす $[0,1]$ 上の $C^2$ 級関数とする（このとき $y+\epsilon \eta \in \mathcal{A}$）。第1変分は
$$\frac{d}{d\epsilon }J[y+\epsilon \eta ]{|}_{\epsilon =0}=2\left[{\int }_0^1\left(y^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime }-\eta \right)dx+3y(1)\eta (1)\right].$$
$y$ が $C^4$ 級であるとして部分積分を 2 回行うと、$\eta (0)={\eta }^{\prime }(0)=0$ より
$${\int }_0^1{y}^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime }dx=y^{\prime \prime }(1){\eta }^{\prime }(1)-y^{\prime \prime \prime }(1)\eta (1)+{\int }_0^1{y}^{\prime \prime \prime \prime }\eta dx.$$
よって第1変分は
$$2\left[{\int }_0^1\left(y^{\prime \prime \prime \prime }-1\right)\eta dx+y^{\prime \prime }(1){\eta }^{\prime }(1)+\left(3y(1)-y^{\prime \prime \prime }(1)\right)\eta (1)\right].$$
これがすべての $\eta$ で $0$ になる条件は、変分法の基本補題と ${\eta }^{\prime }(1)$, $\eta (1)$ が任意であることから
$$y^{\prime \prime \prime \prime }=1(\text{オイラー・ポアソン方程式}),y^{\prime \prime }(1)=0,y^{\prime \prime \prime }(1)=3y(1)(\text{自然境界条件}).$$

2. 停留曲線を求める

$y^{\prime \prime \prime \prime }=1$ を積分して
$$y^{\prime \prime \prime }=x+c_1,y^{\prime \prime }=\frac{x^2}{2}+c_{1}x+c_2,y^{\prime }=\frac{x^3}{6}+\frac{c_1{x}^2}{2}+c_{2}x+c_3,y=\frac{x^4}{24}+\frac{c_1{x}^3}{6}+\frac{c_2{x}^2}{2}+c_{3}x+c_4.$$
$y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ より $c_4=c_3=0$。$y^{\prime \prime }(1)=0$ より $c_2=-\frac{1}{2}-c_1$。このとき
$$y(1)=\frac{1}{24}+\frac{c_1}{6}+\frac{c_2}{2}=\frac{1}{24}+\frac{c_1}{6}-\frac{1}{4}-\frac{c_1}{2}=-\frac{5}{24}-\frac{c_1}{3}.$$
$y^{\prime \prime \prime }(1)=3y(1)$ より $1+c_1=-\frac{5}{8}-c_1$、すなわち $c_1=-\frac{13}{16}$、$c_2=\frac{5}{16}$。よって
$$y_0(x)=\frac{x^4}{24}-\frac{13x^3}{96}+\frac{5x^2}{32},y_0(1)=\frac{1}{16},y_0^{\prime \prime \prime }(1)=\frac{3}{16}.$$

3. 最小であることの確認

任意の $y\in \mathcal{A}$ を $y=y_0+\eta$（$\eta (0)={\eta }^{\prime }(0)=0$）と書く。$J$ は 2 次式なので
$$J[y_0+\eta ]=J[y_0]+2\left[{\int }_0^1(y_0^{\prime \prime }{\eta }^{\prime \prime }-\eta )dx+3y_0(1)\eta (1)\right]+{\int }_0^1{\eta }^{\prime \prime 2}dx+3\eta (1{)}^2.$$
$y_0$ は多項式なので 1 の部分積分がそのまま使え、$y_0^{\prime \prime \prime \prime }=1$, $y_0^{\prime \prime }(1)=0$, $y_0^{\prime \prime \prime }(1)=3y_0(1)$ より中央の項は $0$。したがって
$$J[y]-J[y_0]={\int }_0^1{\eta }^{\prime \prime 2}dx+3\eta (1{)}^2\ge 0$$
となり、$y_0$ で最小値をとる（等号は ${\eta }^{\prime \prime }\equiv 0$ かつ $\eta (0)={\eta }^{\prime }(0)=0$ すなわち $\eta \equiv 0$ のときに限る）。

4. 最小値の計算

上の第1変分の式で $\eta =y_0$ とおくと ${\int }_0^1{y}_0^{\prime \prime 2}dx-{\int }_0^1{y}_{0}dx+3y_0(1{)}^2=0$。よって
$$J[y_0]={\int }_0^1{y}_0^{\prime \prime 2}dx-2{\int }_0^1{y}_{0}dx+3y_0(1{)}^2=-{\int }_0^1{y}_{0}dx.$$
ここで
$${\int }_0^1{y}_{0}dx=\frac{1}{120}-\frac{13}{384}+\frac{5}{96}=\frac{16-65+100}{1920}=\frac{51}{1920}=\frac{17}{640}.$$
（検算：${\int }_0^1{y}_0^{\prime \prime 2}dx=\frac{19}{1280}$ であり、$\frac{19}{1280}-\frac{68}{1280}+3\cdot \frac{1}{256}=\frac{19-68+15}{1280}=-\frac{34}{1280}$ となって一致する。）

したがって最小値は $-\frac{17}{640}$ である。

オイラー・ラグランジュ方程式は $2y^{\prime \prime \prime \prime }-2=0$、すなわち $y^{\prime \prime \prime \prime }=1$ である。$y(0)=y^{\prime }(0)=0$ を使うと $y=\frac{x^4}{24}+B{x}^3+A{x}^2$ と書ける。

右端は自由なので、第1変分の境界項から自然境界条件を求める。変分 $\eta$ は $\eta (0)={\eta }^{\prime }(0)=0$ を満たす。第1変分は $2y^{\prime \prime }(1){\eta }^{\prime }(1)-2y^{\prime \prime \prime }(1)\eta (1)+6y(1)\eta (1)$ に、$\int 2(y^{\prime \prime \prime \prime }-1)\eta dx$ を加えたものになる。これが任意の $\eta$ について0になるので、$y^{\prime \prime }(1)=0$、$y^{\prime \prime \prime }(1)=3y(1)$ を得る。

$y^{\prime \prime }=\frac{x^2}{2}+6Bx+2A$ より、$y^{\prime \prime }(1)=0$ から $\frac{1}{2}+6B+2A=0$、よって $A=-\frac{1}{4}-3B$ となる。
$y^{\prime \prime \prime }=x+6B$ と $y(1)=\frac{1}{24}+A+B$ を $y^{\prime \prime \prime }(1)=3y(1)$ に代入すると $1+6B=\frac{1}{8}+3A+3B$ となる。ここへ $A$ を代入して整理すると $12B=-\frac{13}{8}$ が得られる。
よって $B=-\frac{13}{96}$、$A=\frac{5}{32}=\frac{15}{96}$ である。

$J$ は $y$ について凸（$y^{\prime \prime 2}$ と $3y(1{)}^2$ は凸、$-2y$ は線形）なので、この停留点が最小を与える。

最小値の計算: $Q=\int y^{\prime \prime 2}$ とおくと、$J=Q-2\int y+3y(1{)}^2$ である。停留点では $\eta =y$ とした第1変分が0なので $Q+3y(1{)}^2=\int y$ が成り立つ。したがって $J=-{\int }_0^{1}ydx$ となる。
${\int }_0^{1}ydx=\frac{1}{120}+\frac{B}{4}+\frac{A}{3}=\frac{16}{1920}-\frac{65}{1920}+\frac{100}{1920}=\frac{51}{1920}=\frac{17}{640}$ である。

検算: $y(1)=\frac{1}{24}+\frac{1}{48}=\frac{1}{16}$、$y^{\prime \prime \prime }(1)=1-\frac{13}{16}=\frac{3}{16}=3y(1)$ となり、自然境界条件を満たす。

以上より最小値は $-\frac{17}{640}$ である。