ポントリャーギンの最大原理

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$ を考える。$u$ は $[0,1]$ 上の区分的に連続な実数値関数で、値に制約はないとする。状態方程式と初期条件を
$$\dot{x}(t)=x(t)+u(t),x(0)=1$$
とし（終端 $x(1)$ は自由）、評価関数
$$J[u]={\int }_0^{1}u(t{)}^{2}dt+x(1{)}^2$$
を考える。$J[u]$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x_1(t)$, $x_2(t)$ と制御 $u(t)$ について、状態方程式
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=u(t),$$
初期条件 $x_1(0)=3$, $x_2(0)=2$ を考える。制御 $u$ は区分的に連続で、すべての $t$ で $|u(t)|\le 1$ を満たすものとする。ある時刻 $T>0$ で $x_1(T)=0$, $x_2(T)=0$ となるような制御のうち、到達時刻 $T$ が最小となるものを考える。その最小時刻 $T$ を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,3]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たす）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=2u(t)x(t)(0\le t\le 3),x(0)=1$$
を考える（終端 $x(3)$ は自由）。汎関数
$$J[u]={\int }_0^3(1-u(t))x(t)dt$$
を最大にする制御が存在することは認めてよい。ポントリャーギンの最大原理を用いて、$J[u]$ の最大値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,2]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たす）について、状態方程式
$$\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)(0\le t\le 2),x(0)=0$$
を考える。終端時刻 $2$ は固定で、終端状態 $x(2)$ は自由とする。評価関数
$$J[u]=x(2)-\frac{1}{2}{\int }_0^{2}u(t)dt$$
の最大値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$ を考える。$u$ は $[0,3]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たすとする。状態方程式は
$$\dot{x}(t)=2u(t)x(t)(0\le t\le 3),x(0)=1$$
で、終端の状態 $x(3)$ は自由とする。このとき、評価汎関数
$$J[u]={\int }_0^3(1-u(t))x(t)dt$$
の最大値を求めよ。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$ を考える。$u$ は $[0,3]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le 1$ を満たすとする。状態方程式と初期条件は
$$\dot{x}(t)=2u(t)x(t)(0\le t\le 3),x(0)=1$$
であり、終端状態 $x(3)$ は自由とする。このとき評価汎関数
$$J[u]={\int }_0^3(1-u(t))x(t)dt$$
の最大値を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ 上の減衰のある制御系
$${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=-2x_1(t)-2x_2(t)+u(t)$$
を考える。許容制御とは、ある $T>0$ に対する可測関数 $u:[0,T]\to [0,1]$ のこととし（制御は $0$ 以上 $1$ 以下の値だけをとる）、状態 $x=(x_1,x_2)$ は初期条件 $x(0)=a$ のもとでの（絶対連続な）解とする。ここで $a\in {\mathbb{R}}^2$, $a\ne (0,0)$ は定数である。

$x(T)=(0,0)$ を満たす許容制御のうち、終端時刻 $T$ が最小のもの（時間最適制御）$u^{\ast }:[0,T^{\ast }]\to [0,1]$ が存在すると仮定し、対応する状態を $x^{\ast }$ とする。

次のポントリャーギンの最大原理は用いてよい: $H(x,p,v)=p_1{x}_2+p_2(-2x_1-2x_2+v)-{\lambda }_0$ とおくと、定数 ${\lambda }_0\ge 0$ と絶対連続な $p=(p_1,p_2):[0,T^{\ast }]\to {\mathbb{R}}^2$ が存在して、
- すべての $t\in [0,T^{\ast }]$ で $({\lambda }_0,p_1(t),p_2(t))\ne (0,0,0)$
- ほとんどすべての $t$ で ${\dot{p}}_1=-\frac{\partial H}{\partial x_1}$, ${\dot{p}}_2=-\frac{\partial H}{\partial x_2}$（$(x^{\ast }(t),p(t),u^{\ast }(t))$ で評価）
- ほとんどすべての $t$ で $H(x^{\ast }(t),p(t),u^{\ast }(t))={\max }_{0\le v\le 1}H(x^{\ast }(t),p(t),v)=0$

が成り立つ。また、定数係数の 2 階線形常微分方程式 $\ddot{y}-2\dot{y}+2y=0$ の $C^2$ 級の解が $e^t\cos t,e^t\sin t$ の 1 次結合で尽くされることも用いてよい。

このとき、次の性質をもつ $\sigma \in \{1,-1\}$、整数 $k\ge 0$、実数 $0={\tau }_0<{\tau }_1<\cdots <{\tau }_k<{\tau }_{k+1}=T^{\ast }$ が存在することを証明せよ。
- 各 $i=0,1,\dots ,k$ について、開区間 $({\tau }_i,{\tau }_{i+1})$ 上ほとんどいたるところで $u^{\ast }(t)=\frac{1+(-1{)}^i\sigma }{2}$ である（すなわち $u^{\ast }$ は区間ごとに値 $1$ と $0$ を交互にとる）。
- すべての $i=0,1,\dots ,k$ について ${\tau }_{i+1}-{\tau }_i\le \pi$ である。
- $1\le i\le k-1$ を満たすすべての $i$ について ${\tau }_{i+1}-{\tau }_i=\pi$ である（$k\le 1$ のときはこの条件は課さない）。

実数値の状態 $x(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,1]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0\le u(t)\le \frac{1}{2}$ を満たす）について、状態方程式 $$\dot{x}(t)=-x(t)+u(t)(0\le t\le 1),x(0)=0$$ を考える（終端値 $x(1)$ は自由）。評価関数 $$J[u]={\int }_0^1\frac{u(t{)}^2}{2}dt-x(1)$$ の最小値を求めよ。

実数値の状態 $x_1(t)$, $x_2(t)$ と制御 $u(t)$（$u$ は $[0,2]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $|u(t)|\le \frac{1}{2}$ を満たす）について、状態方程式 $${\dot{x}}_1(t)=x_2(t),{\dot{x}}_2(t)=u(t)(0\le t\le 2),$$ 初期条件 $x_1(0)=0$, $x_2(0)=0$ を考える（終端の状態は自由）。評価関数 $$J[u]=x_1(2)-\frac{1}{2}{x}_2(2{)}^2-{\int }_0^{2}u(t{)}^{2}dt$$ の最大値を求めよ。