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変分法・最適制御の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学変分法・最適制御

実数値の状態 $x (t)$ と制御 $u (t)$ を考える。 $u$ は $[0, 3]$ 上の区分的に連続な関数で、すべての $t$ で $0 \leq u (t) \leq 1$ を満たすとする。状態方程式と初期条件は
$x ˙ (t) = 2 u (t) x (t) (0 \leq t \leq 3), x (0) = 1$
であり、終端状態 $x (3)$ は自由とする。このとき評価汎関数
$J [u] = \int_{0}^{3} (1 - u (t)) x (t) d t$
の最大値を求めよ。

この問題で使うもの

制御に制約のある最適制御（説明と入口の問題）
ポントリャーギンの最大原理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ハミルトニアン $H = (1 - u) x + 2 p ux$ をつくり、 $H$ が $u$ について 1 次式であることから、最適制御がバンバン型になることを使う。

ヒント 2

切り替え関数は $x (2 p - 1)$ で、 $x > 0$ である。随伴方程式は $p ˙ = - (1 - u) - 2 p u$ 、横断性条件は $p (3) = 0$ である。

ヒント 3

終端の近くでは $u = 0$ なので $p = 3 - t$ となり、 $p = \frac{1}{2}$ となる時刻で $u$ が $1$ から $0$ に切り替わる。それ以前は $u = 1$ で $x = e^{2 t}$ である。

答えと解説

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\frac{e ^{5}}{2}

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解説を読む

1. 準備　 $x (t) = exp (2 \int_{0}^{t} u (s) d s) > 0$ である。また $x (t) \leq e^{6}$ で有界であり、各 $x$ に対して速度集合 ${(2 ux, (1 - u) x) ∣ 0 \leq u \leq 1}$ は線分なので凸である。したがって最適制御が存在する（フィリッポフの存在定理）。最大原理で候補がただ一つに絞れれば、それが最適である。

2. ハミルトニアン　随伴変数を $p (t)$ とし
$H = p_{0} (1 - u) x + p \cdot 2 ux = p_{0} x + u x (2 p - p_{0})$
とおく（ $p_{0} \in {0, 1}$ ）。終端自由なので横断性条件は $p (3) = 0$ である。 $p_{0} = 0$ とすると随伴方程式は $p ˙ = - 2 p u$ となり、 $p (3) = 0$ から $p \equiv 0$ となって $(p_{0}, p) \neq = (0, 0)$ に反する。よって $p_{0} = 1$ であり
$H = x + u x (2 p - 1), p ˙ = - \frac{\partial H}{\partial x} = - (1 - u) - 2 p u .$
$x > 0$ なので、 $H$ を $u \in [0, 1]$ について最大化すると
$u = {10 (p > \frac{1}{2}) (p < \frac{1}{2})$
となる。

3. 特異弧がないこと　ある区間で $p \equiv \frac{1}{2}$ と仮定すると $p ˙ = 0$ である。一方、随伴方程式からは $p ˙ = - (1 - u) - u = - 1$ となり、矛盾する。よって特異弧はない。

4. 随伴変数を終端から逆にたどる　 $p (3) = 0 < \frac{1}{2}$ なので、終端の近くでは $u = 0$ であり、 $p ˙ = - 1$ となる。したがって $p (t) = 3 - t$ である。これが $\frac{1}{2}$ に達するのは $t = \frac{5}{2}$ のときである。

$t < \frac{5}{2}$ では $p > \frac{1}{2}$ と仮定すると $u = 1$ であり、 $p ˙ = - 2 p$ となる。 $p (\frac{5}{2}) = \frac{1}{2}$ から
$p (t) = \frac{1}{2} e^{2 (5/2 - t)} > \frac{1}{2} (0 \leq t < \frac{5}{2})$
となり、仮定と矛盾しない。よって最適制御は
$u (t) = {10 (0 \leq t < \frac{5}{2}) (\frac{5}{2} \leq t \leq 3)$
である。

5. 最適値　 $0 \leq t \leq \frac{5}{2}$ では $x (t) = e^{2 t}$ なので $x (\frac{5}{2}) = e^{5}$ である。その後は $u = 0$ なので $x \equiv e^{5}$ となる。 $u = 1$ の区間では被積分関数が $0$ なので
$J = \int_{5/2}^{3} e^{5} d t = \frac{1}{2} e^{5} .$

（確認：切り替え時刻を $s$ とすると $J (s) = e^{2 s} (3 - s)$ であり、 $J^{'} (s) = e^{2 s} (5 - 2 s) = 0$ から $s = \frac{5}{2}$ となって一致する。）

よって最大値は $\frac{e ^{5}}{2}$ である。

別解

ハミルトニアンは $H = (1 - u) x + 2 λ ux = x [1 + u (2 λ - 1)]$ である。随伴方程式は $λ ˙ = - \partial H / \partial x = - (1 - u) - 2 u λ$ 、終端条件は $λ (3) = 0$ （終端状態が自由なので）。 $x > 0$ なので、 $H$ を最大にする制御は $2 λ - 1 > 0$ なら $u = 1$ 、 $2 λ - 1 < 0$ なら $u = 0$ である。

終端付近では $λ \approx 0$ なので $u = 0$ 。このとき $λ ˙ = - 1$ より $λ = 3 - t$ 。 $2 λ - 1 = 0$ となるのは $t = 5/2$ である。

$t < 5/2$ では $u = 1$ とすると $λ ˙ = - 2 λ$ 、 $λ (5/2) = 1/2$ より $λ = \frac{1}{2} e^{2 (5/2 - t)} > 1/2$ となり、 $u = 1$ の条件と整合する。

よって最適制御は $u = 1$ （ $0 \leq t < 5/2$ ）、 $u = 0$ （ $5/2 \leq t \leq 3$ ）である。このとき $x (5/2) = e^{5}$ で、以後 $x = e^{5}$ は一定である。したがって $J = \int_{5/2}^{3} e^{5} d t = \frac{1}{2} e^{5}$ 。

検算として、切替時刻を $s$ とおくと $J (s) = (3 - s) e^{2 s}$ である。 $J^{'} (s) = e^{2 s} (5 - 2 s) = 0$ より $s = 5/2$ で最大となり、最大値は $\frac{1}{2} e^{5}$ で一致する。

切替が複数回ある制御や、途中の値をとる制御は、上の必要条件から最適にならない。

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