変分法・最適制御の問題

最大原理の適用. ハミルトニアンを
$$H(x,u,p)=p(-x+u)-\frac{1}{2}u$$
とおく（評価関数を最大化する形）。随伴方程式と横断条件は
$$\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}=p,p(2)=\frac{\partial }{\partial x}\left(x\right){|}_{t=2}=1$$
なので $p(t)=e^{t-2}$ である。

$H$ は $u$ について 1 次で、係数は $p(t)-\frac{1}{2}$ である。最大原理より、$H$ を $0\le u\le 1$ の範囲で最大にする $u$ をとって
$$u^{\ast }(t)=\{\begin{array}{ll}0& (p(t)<\frac{1}{2})\\ 1& (p(t)>\frac{1}{2})\end{array}$$
となる。$e^{t-2}>\frac{1}{2}⟺t>2-\log 2$ なので、切り替え時刻は $\tau =2-\log 2$（$0<\tau <2$）で、$u^{\ast }=0$ $(0\le t<\tau )$、$u^{\ast }=1$ $(\tau <t\le 2)$。

状態と評価値. $0\le t\le \tau$ では $\dot{x}=-x$, $x(0)=0$ より $x\equiv 0$。$\tau \le t\le 2$ では $\dot{x}=-x+1$, $x(\tau )=0$ より $x(t)=1-e^{-(t-\tau )}$。よって
$$x(2)=1-e^{-\log 2}=\frac{1}{2},\frac{1}{2}{\int }_0^2{u}^{\ast }dt=\frac{1}{2}(2-\tau )=\frac{\log 2}{2}.$$
したがって $J[u^{\ast }]=\frac{1}{2}-\frac{\log 2}{2}$。

最大であることの確認. 定数変化法より任意の許容制御に対し $x(2)={\int }_0^2{e}^{-(2-s)}u(s)ds$ なので
$$J[u]={\int }_0^2\left(e^{s-2}-\frac{1}{2}\right)u(s)ds.$$
$0\le u\le 1$ のもとで被積分関数を各 $s$ で最大にするのは、係数が正のとき $u=1$、負のとき $u=0$ であり、これは $u^{\ast }$ と一致する。よって
$$\max J={\int }_{2-\log 2}^2\left(e^{s-2}-\frac{1}{2}\right)ds=\left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{\log 2}{2}=\frac{1-\log 2}{2}.$$

$x(2)={\int }_0^2{e}^{-(2-t)}u(t)dt$ なので $J[u]={\int }_0^2\left(e^{t-2}-\frac{1}{2}\right)u(t)dt$。これは $u$ について線形で、制約 $0\le u\le 1$ のもと各 $t$ で係数 $e^{t-2}-\frac{1}{2}$ の符号に応じて $u=1$（正のとき）、$u=0$（負のとき）とすると最大になる。
$e^{t-2}>\frac{1}{2}⟺t>2-\log 2$。よって $u^{\ast }(t)=0$ ($0\le t<2-\log 2$)、$u^{\ast }(t)=1$ ($2-\log 2\le t\le 2$)（区分的に連続で許容）。
最大値 $={\int }_{2-\log 2}^2\left(e^{t-2}-\frac{1}{2}\right)dt={\left[e^{t-2}\right]}_{2-\log 2}^2-\frac{1}{2}\log 2=\left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{\log 2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\log 2}{2}$。
数値: $0.5-0.3466=0.1534$。検算: $u\equiv 1$ では $J=(1-e^{-2})-1<0$ ではなく $x(2)=1-e^{-2}\approx 0.865$、$J=0.865-1=-0.135$ で、$0.1534$ より小さい。$u\equiv 0$ では $J=0$ で、やはり小さい。