変分法・最適制御の問題

最大原理の適用. ハミルトニアンを（最大化の形で）$$H(x,u,\lambda )=-\frac{u^2}{2}+\lambda (-x+u)$$ とおく。随伴方程式と横断条件は、終端コストが $-x(1)$ なので $$\dot{\lambda }=-\frac{\partial H}{\partial x}=\lambda ,\lambda (1)=-\frac{\partial (-x(1))}{\partial x(1)}=1.$$ よって $\lambda (t)=e^{t-1}$。

各時刻で $H$ を $u\in [0,\frac{1}{2}]$ について最大化する。$-\frac{u^2}{2}+\lambda u$ は $u=\lambda$ を頂点とする上に凸な 2 次関数で、$\lambda >0$ なので $$u^{\ast }(t)=\min (e^{t-1},\frac{1}{2}).$$ $e^{t-1}=\frac{1}{2}$ となるのは $t=a:=1-\log 2$ のときなので、$$u^{\ast }(t)=\{\begin{array}{ll}{e}^{t-1}& (0\le t\le a)\\ \frac{1}{2}& (a\le t\le 1)\end{array}$$ である。

十分性. 状態方程式は線形、被積分関数は $u$ について凸、終端コストは線形、制御集合は凸なので、最大原理の条件を満たす制御は最適である。実際、$x(1)={\int }_0^1{e}^{t-1}u(t)dt$ より $$J[u]={\int }_0^1(\frac{u(t{)}^2}{2}-e^{t-1}u(t))dt$$ と書け、被積分関数を各 $t$ で $u\in [0,\frac{1}{2}]$ について最小化するのが $u^{\ast }$ であることからも確かめられる。

最小値の計算. $0\le t\le a$ では被積分関数は $\frac{e^{2(t-1)}}{2}-e^{2(t-1)}=-\frac{e^{2(t-1)}}{2}$ なので $${\int }_0^a-\frac{e^{2(t-1)}}{2}dt=-\frac{1}{4}(e^{2(a-1)}-e^{-2})=-\frac{1}{4}(\frac{1}{4}-e^{-2})=-\frac{1}{16}+\frac{e^{-2}}{4}.$$ $a\le t\le 1$ では被積分関数は $\frac{1}{8}-\frac{1}{2}{e}^{t-1}$ なので、区間の長さが $1-a=\log 2$、${\int }_a^1{e}^{t-1}dt=1-e^{a-1}=\frac{1}{2}$ より $${\int }_a^1(\frac{1}{8}-\frac{1}{2}{e}^{t-1})dt=\frac{\log 2}{8}-\frac{1}{4}.$$ 合計して $$\min J=\frac{\log 2}{8}+\frac{e^{-2}}{4}-\frac{5}{16}(\approx -0.192).$$

線形方程式 $\dot{x}=-x+u$, $x(0)=0$ の解は $x(1)={\int }_0^1{e}^{-(1-t)}u(t)dt$。よって $J[u]={\int }_0^1\left(\frac{u^2}{2}-e^{t-1}u\right)dt$。被積分関数は各 $t$ で $u$ の凸 2 次関数なので、$0\le u\le \frac{1}{2}$ の制約下で各 $t$ ごとに最小化すればよい（可測な選択は区分連続でもよく、下限が最小値として達成される）。
$\frac{u^2}{2}-e^{t-1}u$ の制約なし最小点は $u=e^{t-1}$。$e^{t-1}\le \frac{1}{2}⟺t\le t_0:=1-\log 2$。したがって $u^{\ast }(t)=e^{t-1}$ ($0\le t\le t_0$)、$u^{\ast }(t)=\frac{1}{2}$ ($t_0\le t\le 1$)（連続で区分的に連続）。
（ポントリャーギンの最大原理でも、$p(t)=-e^{t-1}$ から同じ $u^{\ast }$ が得られる。）
最小値:
${\int }_0^{t_0}\left(-\frac{1}{2}{e}^{2(t-1)}\right)dt=-\frac{1}{4}\left(e^{2(t_0-1)}-e^{-2}\right)=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}-e^{-2}\right)=-\frac{1}{16}+\frac{e^{-2}}{4}$。
${\int }_{t_0}^1\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{2}{e}^{t-1}\right)dt=\frac{\log 2}{8}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{\log 2}{8}-\frac{1}{4}$。
合計: $-\frac{5}{16}+\frac{\log 2}{8}+\frac{e^{-2}}{4}\approx -0.3125+0.0866+0.0338=-0.1921$。
検算: $u\equiv 0$ なら $J=0$、$u\equiv \frac{1}{2}$ なら $J=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}(1-e^{-1})\cdot \dots$ すなわち $\frac{1}{8}-\frac{1}{2}(1-e^{-1})\approx -0.191$ で、$-0.1921$ よりわずかに大きく整合する。