非斉次の連立線形微分方程式

$x^{'} = a x + b y + f (t)$ , $y^{'} = c x + d y + g (t)$ を、一方の未知関数を消去して 2 階の方程式に直す（または固有値を使う）方法で解き、初期条件から $x (t)$ を求められる

前提

定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
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1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）

説明

$x^{'} = a x + b y + f (t)$ , $y^{'} = c x + d y + g (t)$ のように、2 つの未知関数 $x (t), y (t)$ が互いの式に入り込み、さらに外から加わる項 $f (t), g (t)$ がある連立微分方程式を解く技能です。一方の未知関数を消去すると、すでに解き方を知っている定数係数 2 階線形（非斉次）の方程式 1 本になります。それを解き、残りの未知関数と初期条件を元の式から決めます。電気回路の 2 つの電流や、2 種類の物質の濃度変化など、互いに影響しあう 2 つの量に外力が加わる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

$b \neq = 0$ とします。1 本目の式を $y$ について解くと $y = \frac{x ^{'} - a x - f}{b}$ です。 $f$ が微分できるとして両辺を微分すると $y^{'} = \frac{x ^{''} - a x ^{'} - f ^{'}}{b}$ です。これらを 2 本目の式 $y^{'} = c x + d y + g$ に代入し、両辺に $b$ を掛けて整理すると $x^{''} - (a + d) x^{'} + (a d - b c) x = f^{'} - df + b g$ となり、 $y$ が消えます。これは $x$ だけの定数係数 2 階線形（非斉次）方程式なので、斉次の一般解と特殊解（未定係数法など）を合わせて解けます。その特性方程式 $λ^{2} - (a + d) λ + (a d - b c) = 0$ は、係数行列 $(a c b d)$ の固有値を求める方程式と同じです。固有値を使う方法でも、同じ指数関数 $e^{λ t}$ が現れるのはこのためです。

$y$ はもう一度微分方程式を解いて求めるのではありません。 $y = \frac{x ^{'} - a x - f}{b}$ に $x$ を代入して求めます。こうすると、任意定数は 2 階方程式から出た 2 個だけになります。 $x$ に関する初期条件は $x (0)$ と $x^{'} (0)$ の 2 つが必要です。 $x^{'} (0)$ は 1 本目の式から $x^{'} (0) = a x (0) + b y (0) + f (0)$ と求まります。

なお $b = 0$ のときは、1 本目が $x$ だけの 1 階線形方程式なので、それを直接解けば済みます（ $c \neq = 0$ なら役割を入れ替えて $x$ を消去することもできます）。

手順

1 本目の式を $y$ について解く： $y = \frac{x ^{'} - a x - f ( t )}{b}$ （ $b \neq = 0$ のとき）
それを微分した $y^{'} = \frac{x ^{''} - a x ^{'} - f ^{'} ( t )}{b}$ と合わせて 2 本目の式に代入し、 $x^{''} - (a + d) x^{'} + (a d - b c) x = f^{'} - df + b g$ の形に整理する
特性方程式 $λ^{2} - (a + d) λ + (a d - b c) = 0$ から斉次の一般解を作り、未定係数法などで特殊解を求めて、 $x$ の一般解（任意定数 2 個）を書く
初期条件を $x (0)$ と $x^{'} (0) = a x (0) + b y (0) + f (0)$ に直し、任意定数を決めて $x (t)$ を求める（ $y (t)$ が必要なら手順 1 の式に代入する）

例題

連立微分方程式 $x^{'} = x + y$ , $y^{'} = 4 x + y - 3 e^{2 t}$ を初期条件 $x (0) = 3$ , $y (0) = 1$ のもとで解き、 $x (t)$ を求めよ。

例題の解答

手順 1：1 本目の式から $y = x^{'} - x$ です。

手順 2：これを微分すると $y^{'} = x^{''} - x^{'}$ です。2 本目の式に代入すると $x^{''} - x^{'} = 4 x + (x^{'} - x) - 3 e^{2 t}$ となり、整理して $x^{''} - 2 x^{'} - 3 x = - 3 e^{2 t}$ を得ます。

手順 3：特性方程式は $λ^{2} - 2 λ - 3 = (λ - 3) (λ + 1) = 0$ で、 $λ = 3, - 1$ です。よって斉次の一般解は $C_{1} e^{3 t} + C_{2} e^{- t}$ です。 $2$ は特性根ではないので、特殊解を $A e^{2 t}$ と置きます。代入すると $(4 A - 4 A - 3 A) e^{2 t} = - 3 e^{2 t}$ より $A = 1$ です。したがって $x = C_{1} e^{3 t} + C_{2} e^{- t} + e^{2 t}$ となります。

手順 4：1 本目の式から $x^{'} (0) = x (0) + y (0) = 3 + 1 = 4$ です。一方、 $x^{'} = 3 C_{1} e^{3 t} - C_{2} e^{- t} + 2 e^{2 t}$ です。 $t = 0$ を代入すると、 $C_{1} + C_{2} + 1 = 3$ と $3 C_{1} - C_{2} + 2 = 4$ が得られます。これを解いて $C_{1} = 1$ , $C_{2} = 1$ です。

したがって $x (t) = e^{3 t} + e^{- t} + e^{2 t}$ です。

確認として、 $y = x^{'} - x = 2 e^{3 t} - 2 e^{- t} + e^{2 t}$ を計算すると $y (0) = 1$ で初期条件と合います。さらに $y^{'} = 6 e^{3 t} + 2 e^{- t} + 2 e^{2 t}$ と $4 x + y - 3 e^{2 t}$ が一致することも確かめられます。

答え: $e^{3 t} + e^{- t} + e^{2 t}$

よくある誤り

$y$ も別に 2 階方程式を立てて $y = D_{1} e^{3 t} + D_{2} e^{- t} + \dots$ と新しい定数で解き、任意定数を 4 個にしてしまう誤り。初期条件 2 つでは定数が決まらず、元の連立方程式を満たさない組も混ざります。正しくは、 $y$ は $y = \frac{x ^{'} - a x - f}{b}$ （例題では $y = x^{'} - x$ ）に $x$ を代入して求めます。
$y = \frac{x ^{'} - a x - f}{b}$ を微分するときに $f^{'}$ を落とし、 $y^{'} = \frac{x ^{''} - a x ^{'}}{b}$ としてしまう誤り。正しくは $y^{'} = \frac{x ^{''} - a x ^{'} - f ^{'}}{b}$ です。その結果、右辺は $f^{'} - df + b g$ になります。
$x$ の 2 つ目の初期条件として $y (0)$ の値を $x^{'} (0)$ に使ったり、 $x^{'} (0) = 0$ と決めつけたりする誤り。正しくは元の式から $x^{'} (0) = a x (0) + b y (0) + f (0)$ を計算します（例題では $x^{'} (0) = 3 + 1 = 4$ ）。
外力の指数が特性根と一致するのに特殊解を $A e^{λ t}$ と置いてしまう誤り。たとえば右辺が $e^{3 t}$ で特性根が $3, - 1$ のとき、 $A e^{3 t}$ を代入すると左辺は $0$ になり、解が見つかりません。正しくは $A t e^{3 t}$ と置きます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ポントリャーギンの最大原理（大学院数学変分法・最適制御）