微分方程式の問題

方針：第 1 式から $y$ を $x$ で表し、第 2 式に代入して $y$ を消去します。$x$ だけの 2 階の微分方程式になります。

1. $y$ を消去する

第 1 式より
$$y=x^{\prime }-x(1)$$
です。両辺を $t$ で微分すると $y^{\prime }=x^{\prime \prime }-x^{\prime }$ です。これと $(1)$ を第 2 式 $y^{\prime }=4x+y+3$ に代入すると
$$x^{\prime \prime }-x^{\prime }=4x+(x^{\prime }-x)+3$$
整理して
$$x^{\prime \prime }-2x^{\prime }-3x=3(2)$$
を得ます。

2. 斉次方程式の一般解

$x^{\prime \prime }-2x^{\prime }-3x=0$ の特性方程式は
$${\lambda }^2-2\lambda -3=0$$
です。左辺は $(\lambda -3)(\lambda +1)$ と因数分解できるので、$\lambda =3,-1$ です。よって斉次方程式の一般解は
$$C_1{e}^{3t}+C_2{e}^{-t}(C_1,C_2\text{は定数})$$
です。

3. 特殊解

$(2)$ の右辺は定数なので、特殊解を定数 $x=A$ とおきます。$x^{\prime }=x^{\prime \prime }=0$ を $(2)$ に代入すると $-3A=3$ となり、$A=-1$ です。

したがって $(2)$ の一般解は
$$x=C_1{e}^{3t}+C_2{e}^{-t}-1$$
です。

4. 初期条件を使う

$x(0)=1$ より
$$C_1+C_2-1=1\text{すなわち}{C}_1+C_2=2$$
です。また、$(1)$ より $x^{\prime }=x+y$ なので、$x^{\prime }(0)=x(0)+y(0)=2$ です。$x^{\prime }=3C_1{e}^{3t}-C_2{e}^{-t}$ であるから
$$3C_1-C_2=2$$
となります。2 式を足すと $4C_1=4$ なので $C_1=1$、したがって $C_2=1$ です。

よって
$$x(t)=e^{3t}+e^{-t}-1$$
です。

確認

$(1)$ より
$$y=x^{\prime }-x=(3e^{3t}-e^{-t})-(e^{3t}+e^{-t}-1)=2e^{3t}-2e^{-t}+1$$
です。$y(0)=1$ を満たします。また $y^{\prime }=6e^{3t}+2e^{-t}$ であり、
$$4x+y+3=4e^{3t}+4e^{-t}-4+2e^{3t}-2e^{-t}+1+3=6e^{3t}+2e^{-t}$$
となって第 2 式も成り立ちます。

平衡点は $x+y=0,4x+y+3=0$ より $(x,y)=(-1,1)$ である。$u=x+1,v=y-1$ とおくと $u^{\prime }=u+v,v^{\prime }=4u+v$、初期値は $u(0)=2,v(0)=0$ となる。係数行列 $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 1\end{array}\right)$ の固有値は $(1-\lambda {)}^2=4$ より $\lambda =3,-1$ である。$\lambda =3$ の固有ベクトルは $(1,2)$、$\lambda =-1$ の固有ベクトルは $(1,-2)$ である。よって $u=a{e}^{3t}+b{e}^{-t},v=2a{e}^{3t}-2b{e}^{-t}$ と書ける。初期条件から $a+b=2,2a-2b=0$ なので $a=b=1$ となる。したがって $x=u-1=e^{3t}+e^{-t}-1$、$y=1+2e^{3t}-2e^{-t}$ である。検算: $x(0)=1,y(0)=1$ を満たす。$x^{\prime }=3e^{3t}-e^{-t}=x+y$ である。また $y^{\prime }=6e^{3t}+2e^{-t}$ で、$4x+y+3=6e^{3t}+2e^{-t}$ となり一致する。