微分方程式の問題

方針：$y$ を消去して、$x$ だけの 2 階の微分方程式に直します。

1. $y$ を消去する

第 1 式から
$$y=x^{\prime }-2x(1)$$
です。これを $t$ で微分すると
$$y^{\prime }=x^{\prime \prime }-2x^{\prime }(2)$$
となります。$(1)$, $(2)$ を第 2 式 $y^{\prime }=3x+4y+5$ に代入すると
$$x^{\prime \prime }-2x^{\prime }=3x+4(x^{\prime }-2x)+5$$
です。これを整理して
$$x^{\prime \prime }-6x^{\prime }+5x=5(3)$$
を得ます。

2. 斉次方程式の一般解を求める

$(3)$ の斉次方程式 $x^{\prime \prime }-6x^{\prime }+5x=0$ の特性方程式は
$${\lambda }^2-6\lambda +5=0$$
です。左辺は $(\lambda -1)(\lambda -5)$ と因数分解できるので、$\lambda =1,5$ です。よって斉次方程式の一般解は
$$x=C_1{e}^t+C_2{e}^{5t}$$
です（$C_1,C_2$ は定数）。

3. 特殊解を求める

右辺は定数 $5$ なので、定数 $x_p=A$ とおきます。$(3)$ に代入すると $5A=5$ となり、$A=1$ です。よって $(3)$ の一般解は
$$x=C_1{e}^t+C_2{e}^{5t}+1$$
です。

4. 初期条件を使う

$x$ の初期条件は $x(0)=1$ です。$x^{\prime }(0)$ は第 1 式から $x^{\prime }(0)=2x(0)+y(0)=2\cdot 1+0=2$ と求まります。

• $x(0)=C_1+C_2+1=1$ より $C_1+C_2=0$
• $x^{\prime }(t)=C_1{e}^t+5C_2{e}^{5t}$ なので、$x^{\prime }(0)=C_1+5C_2=2$

この 2 式を解くと $C_2=\frac{1}{2}$, $C_1=-\frac{1}{2}$ です。

5. 答えと検算

$$x(t)=\frac{e^{5t}-e^t}{2}+1$$

検算します。$(1)$ より $y=x^{\prime }-2x=\frac{3e^{5t}+e^t}{2}-2$ で、$y(0)=2-2=0$ です。また
$$y^{\prime }=\frac{15e^{5t}+e^t}{2}$$
であり、
$$3x+4y+5=\frac{3e^{5t}-3e^t}{2}+3+6e^{5t}+2e^t-8+5=\frac{15e^{5t}+e^t}{2}$$
なので、第 2 式も満たしています。

連立方程式を ${\mathbf{X}}^{\prime }=A\mathbf{X}+\mathbf{b}$ の形に書く。$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$、$\mathbf{b}=(0,5{)}^T$ である。

1. 平衡点を求める。$2x+y=0$ と $3x+4y+5=0$ から $y=-2x$、$-5x+5=0$ より $x=1,y=-2$。
2. $u=x-1,v=y+2$ とおくと $u^{\prime }=2u+v,v^{\prime }=3u+4v$。初期条件は $u(0)=0,v(0)=2$。
3. $A$ の固有値は、固有方程式 ${\lambda }^2-6\lambda +5=0$ より $\lambda =1,5$。
- $\lambda =1$ の固有ベクトルは $(1,-1{)}^T$。
- $\lambda =5$ の固有ベクトルは $(1,3{)}^T$。
4. $(u,v)=a{e}^t(1,-1)+b{e}^{5t}(1,3)$ とおく。$t=0$ で $a+b=0,-a+3b=2$ となるので、$b=\frac{1}{2},a=-\frac{1}{2}$。
5. よって $u=\frac{1}{2}(e^{5t}-e^t)$ であり、$x=1+\frac{1}{2}(e^{5t}-e^t)$。

検算: $y=-2+\frac{1}{2}{e}^t+\frac{3}{2}{e}^{5t}$ とすると、$x(0)=1,y(0)=0$ を満たす。また $x^{\prime }=\frac{1}{2}(5e^{5t}-e^t)$ であり、$2x+y=\frac{5}{2}{e}^{5t}-\frac{1}{2}{e}^t$ と一致する。