微分方程式の問題

係数行列は $A=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ 1& -1\end{array}\right)$ です。$\mathrm{tr}A=2$、$\det A=3\cdot (-1)-(-5)\cdot 1=2$ なので、特性方程式は ${\lambda }^2-2\lambda +2=0$ となり、固有値は $\lambda =1\pm i$ です。以下では $y$ を消去して解きます。

第 1 式から
$$y=\frac{3x-x^{\prime }}{5}(1)$$
です。第 1 式を微分して第 2 式を代入すると
$$x^{\prime \prime }=3x^{\prime }-5y^{\prime }=3x^{\prime }-5(x-y)=3x^{\prime }-5x+5y$$
となります。ここに $(1)$ より $5y=3x-x^{\prime }$ を代入すると
$$x^{\prime \prime }=3x^{\prime }-5x+3x-x^{\prime }=2x^{\prime }-2x,$$
すなわち
$$x^{\prime \prime }-2x^{\prime }+2x=0$$
です。特性方程式 ${\lambda }^2-2\lambda +2=0$ の解は $\lambda =1\pm i$ なので、一般解は
$$x=e^t(C_1\cos t+C_2\sin t)$$
です。

初期条件を求めます。$x(0)=1$ より $C_1=1$ です。また第 1 式より $x^{\prime }(0)=3x(0)-5y(0)=3-5=-2$ です。
$$x^{\prime }=e^t\{(C_1+C_2)\cos t+(C_2-C_1)\sin t\}$$
なので $x^{\prime }(0)=C_1+C_2=-2$ となり、$C_2=-3$ です。よって
$$x(t)=e^t(\cos t-3\sin t)$$
です。

（確認）$x^{\prime }=e^t(-2\cos t-4\sin t)$ なので、$(1)$ より
$$y=\frac{e^t(3\cos t-9\sin t+2\cos t+4\sin t)}{5}=e^t(\cos t-\sin t)$$
です。$y(0)=1$ を満たし、$y^{\prime }=-2e^t\sin t$、$x-y=-2e^t\sin t$ なので第 2 式も成り立ちます。

したがって
$$x\left(\frac{\pi }{2}\right)=e^{\frac{\pi }{2}}\left(0-3\cdot 1\right)=-3e^{\frac{\pi }{2}}$$
です。

第1式から $y=(3x-x^{\prime })/5$。これを第2式 $y^{\prime }=x-y$ に代入すると $(3x^{\prime }-x^{\prime \prime })/5=x-(3x-x^{\prime })/5$。整理して $x^{\prime \prime }-2x^{\prime }+2x=0$。特性方程式 ${\lambda }^2-2\lambda +2=0$ の解は $\lambda =1\pm i$ なので $x=e^t(a\cos t+b\sin t)$。
初期条件より $x(0)=a=1$。また $x^{\prime }(0)=3x(0)-5y(0)=-2$。$x^{\prime }=e^t((a+b)\cos t+(b-a)\sin t)$ より $a+b=-2$、よって $b=-3$。
ゆえに $x=e^t(\cos t-3\sin t)$。
検算: $y=(3x-x^{\prime })/5=e^t(\cos t-\sin t)$。$y(0)=1$。$y^{\prime }=-2e^t\sin t$、$x-y=e^t(-2\sin t)$ となり一致する。
$t=\pi /2$ では $x=e^{\pi /2}(0-3)=-3e^{\pi /2}$。