微分方程式の問題

係数行列は $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ で、固有多項式は ${\lambda }^2-4\lambda +4=(\lambda -2{)}^2$。固有値 $2$ は重解で、$A-2E=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$ の階数は $1$ なので $A$ は対角化できない。ここでは消去法で解く。

第 2 式から $x=y^{\prime }-y$。これを第 1 式に代入すると、$x^{\prime }=y^{\prime \prime }-y^{\prime }$ より $$y^{\prime \prime }-y^{\prime }=3(y^{\prime }-y)-y+e^{2t}⟺y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=e^{2t}.$$ 初期条件は $y(0)=0$、$y^{\prime }(0)=x(0)+y(0)=1$。

斉次方程式の特性方程式は $(\lambda -2{)}^2=0$ なので、斉次解は $(C_1+C_{2}t)e^{2t}$。右辺の $e^{2t}$ は特性方程式の 2 重解に対応するので、特殊解を $y_p=a{t}^2{e}^{2t}$ とおく。$y=e^{2t}u$ とおくと $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=e^{2t}{u}^{\prime \prime }$ となるから、$u=a{t}^2$ に対して $2a=1$、$a=\frac{1}{2}$。よって $$y=\left(C_1+C_{2}t+\frac{t^2}{2}\right)e^{2t}.$$ $y(0)=C_1=0$。$y^{\prime }=2y+(C_2+t)e^{2t}$ より $y^{\prime }(0)=C_2=1$。したがって $$y(t)=\left(t+\frac{t^2}{2}\right)e^{2t}.$$

これより $$y^{\prime }(t)=2\left(t+\frac{t^2}{2}\right)e^{2t}+(1+t)e^{2t}=(t^2+3t+1)e^{2t},$$ $$x(t)=y^{\prime }-y=\left(t^2+3t+1-t-\frac{t^2}{2}\right)e^{2t}=\frac{1}{2}(t^2+4t+2)e^{2t}.$$

確認: $x(0)=1$。$x^{\prime }=2x+(t+2)e^{2t}=(t^2+5t+4)e^{2t}$。一方 $3x-y+e^{2t}=\left(\frac{3}{2}{t}^2+6t+3-t-\frac{t^2}{2}+1\right)e^{2t}=(t^2+5t+4)e^{2t}$ で一致する。

第1式から $y=3x-x^{\prime }+e^{2t}$。これを第2式 $y^{\prime }=x+y$ に使うと $y^{\prime }=4x-x^{\prime }+e^{2t}$。一方、第1式を微分して $x^{\prime \prime }=3x^{\prime }-y^{\prime }+2e^{2t}=3x^{\prime }-(4x-x^{\prime }+e^{2t})+2e^{2t}$ より $x^{\prime \prime }-4x^{\prime }+4x=e^{2t}$。同次解は $(c_1+c_{2}t)e^{2t}$（特性方程式が重解 $2$）、右辺が特性根と共鳴するので特解を $\frac{1}{2}{t}^2{e}^{2t}$ とおくと、$(D-2{)}^2(\frac{1}{2}{t}^2{e}^{2t})=e^{2t}$ で確かに成り立つ。よって $x=(c_1+c_{2}t+\frac{t^2}{2})e^{2t}$。$x(0)=1$ より $c_1=1$。$x^{\prime }(0)=3x(0)-y(0)+1=4$ であり、$x^{\prime }(0)=2c_1+c_2$ なので $c_2=2$。したがって $x(t)=(1+2t+\frac{t^2}{2})e^{2t}$。検算: $y=3x-x^{\prime }+e^{2t}=(t+\frac{t^2}{2})e^{2t}$、$y(0)=0$。$y^{\prime }=(1+3t+t^2)e^{2t}$、$x+y=(1+3t+t^2)e^{2t}$ で一致。